Question

设 $G$ 是所有如下形式多项式的集合：

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

其中 $c_1, c_2, \ldots, c_{n-1}$ 是整数，并且 $P(z)$ 有 $n$ 个互不相同的根，每个根形如 $a + ib$ ，其中 $a$ 、 $b$ 为整数。集合 $G$ 中有多少个多项式？

Let $G$ be the set of polynomials of the form

$\begin{aligned} &P(z) = z^n + c_{n-1}z^{n-1} + \cdots \\ &\quad {}+ c_2 z^2 + c_1 z + 50, \end{aligned}$

where $c_1, c_2, \ldots, c_{n-1}$ are integers and $P(z)$ has $n$ distinct roots of the form $a + ib$ with $a$ and $b$ integers. How many polynomials are in $G?$

$288$

$528$

$576$

$992$

$1056$

答案：B

知识点：多项式复数因数个数分类讨论

难度评级：2720

解答：

因为系数为实数，非实根成共轭对，所以 $P(z)$ 可分解为互异的线性因子 $(z - c)$ ，其中 $c \in \mathbb{Z}$ ，以及二次因子 $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2)$ 。每个因子的常数项都整除 $50$ 。对大小为 $d=1,2,5,10,25,50$ 的基本因子计数，也就是数 $a^2+b^2=d$ 的解并加入两个线性因子 $b\ne0$ ，可得 $1,2,4,4,5,6$ 、 $z-d,z+d$ 、 $|B_1|=3$ 、 $|B_2|=4$ 、 $|B_5|=6$ 、 $|B_{10}|=6$ 。把常数项 $50$ 构造成一个因子或一组互补因子的乘积，并计入 $|B_{25}|=7$ 和 $|B_{50}|=8$ 可以自由出现的情况（而 $1$ 由其余因子乘积的符号决定），总数为所以正确答案是 B。 $50,25\cdot2,10\cdot5$ ， $5\cdot5\cdot2$ 。 $B_5$ $z+1$ $z^2+1$ $z-1$ $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$

Since the coefficients are real, nonreal roots occur in conjugate pairs, so $P(z)$ factors into distinct linear factors $(z - c)$ with $c \in \mathbb{Z}$ and quadratics $(z - (a+ib))(z - (a-ib))$ $= z^2 - 2az + (a^2 + b^2).$ Each factor's constant term divides $50.$ For $d=1,2,5,10,25,50,$ the numbers of conjugate pairs with $a^2+b^2=d$ and $b\ne0$ are $1,2,4,4,5,6,$ respectively. Adding the two linear choices $z-d,z+d$ gives This gives $|B_1|=3,$ $|B_2|=4,$ $|B_5|=6,$ $|B_{10}|=6,$ $|B_{25}|=7,$ and $|B_{50}|=8.$ The factor-magnitude partitions of $50$ using values greater than $1$ are $50,25\cdot2,10\cdot5,$ and $5\cdot5\cdot2.$ Distinct roots require choosing two different $B_5$ factors in the last case. Finally, account for the free presence of $z+1$ and $z^2+1$ (with $z-1$ forced by the sign of the remaining product), gives $\begin{aligned} &2^2\left(8 + 7\cdot 4 + 6\cdot 6 + 4\binom{6}{2}\right) \\ &\quad = 4(8 + 28 + 36 + 60) = 528. \end{aligned}$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B 第 25 题

答案：B

难度评级：2720

解答：

其他年份的第 25 题