2013 AMC 12B 第 19 题

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19.

在三角形

ABC

中，

AB = 13

、

BC = 14

、

CA = 15

。不同的点

D

、

E

、

F

分别在线段

BC

、

CA

、

DE

上，并且

AD \perp BC

、

DE \perp AC

、

AF \perp BF

。线段

DF

的长度可写为

\dfrac{m}{n}

，其中

m

和

n

是互质正整数。求

m + n

。

In triangle

ABC,

AB = 13,

BC = 14,

and

CA = 15.

Distinct points

D,

E,

and

F

lie on segments

BC,

CA,

and

DE,

respectively, such that

AD \perp BC,

DE \perp AC,

and

AF \perp BF.

The length of segment

DF

can be written as

\dfrac{m}{n},

where

m

and

n

are relatively prime positive integers. What is

m + n?

18

21

24

27

30

答案：B

知识点：圆内接四边形相似高线

难度评级：2140

小提示：

13

-

14

-

15

三角形中的高

AD

可得

BD = 5

、

CD = 9

、

AD = 12

。

The altitude

AD

in the

13

-

14

-

15

triangle gives

BD = 5,

CD = 9,

AD = 12

大提示：

因为

\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ

，所以

A, B, D, F

四点共圆；利用相似直角三角形求出

FE

，再由

DF = DE - FE

计算。

Since

\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,

points

A, B, D, F

are concyclic; use similar right triangles to find

FE,

then

DF = DE - FE

解答：

从

A

到

BC

的高可得

BD = 5

、

CD = 9

、

AD = 12

。因为

DE \perp AC

，所以

AED \sim ADC

，从而

DE = \tfrac{36}{5}

、

AE = \tfrac{48}{5}

。又因为

\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ

，四边形

ABDF

是圆内接四边形，所以

\angle ABD = \angle AFE

。于是直角三角形

ABD

与

AFE

相似，故

\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12}

，即

FE = 4

。因此

DF = DE - FE

= \tfrac{36}{5} - 4

= \tfrac{16}{5}

，所以

m + n = 21

。所以正确答案是 B。

The altitude from

A

to

BC

gives

BD = 5,

CD = 9,

AD = 12.

Because

DE \perp AC,

triangle

AED \sim ADC,

giving

DE = \tfrac{36}{5}

and

AE = \tfrac{48}{5}.

Since

\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,

quadrilateral

ABDF

is cyclic, so

\angle ABD = \angle AFE,

making right triangles

ABD

and

AFE

similar:

\dfrac{FE}{5} = \dfrac{\frac{48}{5}}{12},

so

FE = 4.

Hence

DF = DE - FE

= \tfrac{36}{5} - 4

= \tfrac{16}{5},

and

m + n = 21.

Thus, the correct answer is B.

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