Question

在三角形 $ABC$ 中， $AB = 13$ 、 $BC = 14$ 、 $CA = 15$ 。不同的点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $BC$ 、 $CA$ 、 $DE$ 上，并且 $AD \perp BC$ 、 $DE \perp AC$ 、 $AF \perp BF$ 。线段 $DF$ 的长度可写为 $\dfrac{m}{n}$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

In triangle $ABC,$ $AB = 13,$ $BC = 14,$ and $CA = 15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $BC,$ $CA,$ and $DE,$ respectively, such that $AD \perp BC,$ $DE \perp AC,$ and $AF \perp BF.$ The length of segment $DF$ can be written as $\dfrac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

答案：B

知识点：圆内接四边形相似高线

难度评级：2140

解答：

从 $A$ 到 $BC$ 的高可得 $BD = 5$ 、 $CD = 9$ 、 $AD = 12$ 。因为 $DE \perp AC$ ，所以 $AED \sim ADC$ ，从而 $DE = \tfrac{36}{5}$ 、 $AE = \tfrac{48}{5}$ 。又因为 $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ$ ，四边形 $ABDF$ 是圆内接四边形，所以 $\angle ABD = \angle AFE$ 。于是直角三角形 $ABD$ 与 $AFE$ 相似，故 $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{48/5}{12}$ ，即 $FE = 4$ 。因此 $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5}$ ，所以 $m + n = 21$ 。所以正确答案是 B。

The altitude from $A$ to $BC$ gives $BD = 5,$ $CD = 9,$ $AD = 12.$ Because $DE \perp AC,$ triangle $AED \sim ADC,$ giving $DE = \tfrac{36}{5}$ and $AE = \tfrac{48}{5}.$ Since $\angle AFB = \angle ADB = 90^\circ,$ quadrilateral $ABDF$ is cyclic, so $\angle ABD = \angle AFE,$ making right triangles $ABD$ and $AFE$ similar: $\dfrac{FE}{5} = \dfrac{48/5}{12},$ so $FE = 4.$ Hence $DF = DE - FE$ $= \tfrac{36}{5} - 4$ $= \tfrac{16}{5},$ and $m + n = 21.$ Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 12B 第 19 题

答案：B

难度评级：2140

解答：

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