2011 AMC 12B 第 19 题

Question

在

xy

-坐标系中，格点是指

(x, y)

中

x

与

y

都为整数的点。对所有满足

\dfrac{1}{2} \lt m \lt a

的

m

，直线

y=mx+2

都不经过任何满足

0 \lt x \le 100

的格点。

a

的最大可能值是多少？

A lattice point in an

xy

-coordinate system is any point

(x, y)

where both

x

and

y

are integers. The graph of

y=mx+2

passes through no lattice point with

0 \lt x \le 100

for all

m

such that

\dfrac{1}{2} \lt m \lt a.

What is the maximum possible value of

a?

\dfrac{51}{101}

\dfrac{50}{99}

\dfrac{51}{100}

\dfrac{52}{101}

\dfrac{13}{25}

答案：B

知识点：格点斜率

难度评级：2090

小提示：

对每个

x

，找出从

(0,2)

出发、斜率

\gt\dfrac12

且能到达该

x

处格点的最小斜率。

For each

x,

find the smallest slope

\gt\dfrac12

from

(0,2)

that reaches a lattice point at that

x

大提示：

分别比较偶数

x

与奇数

x

对应的最小斜率；较小者给出限制

Compare the minimum slopes for even

x

and odd

x;

the tighter bound wins

解答：

对

0\lt x\le100

，在直线

y=\tfrac12x+2

上方最近的格点为：当

x

为偶数时是

\left(x,\tfrac12x+3\right)

；当

x

为奇数时是

\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)

。

从

(0,2)

到该点的斜率，偶数

x

时为

\dfrac12+\dfrac1x

，奇数

x

时为

\dfrac12+\dfrac{1}{2x}

。这些斜率的最小值在偶数

x

时为

\dfrac{51}{100}

，在奇数

x

时为

\dfrac{50}{99}

。

因为

\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100}

，直线恰在

\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99}

时避开所有这些格点，所以最大值为

a=\dfrac{50}{99}

。

所以正确答案是 B。

For

0\lt x\le100,

the nearest lattice point above the line

y=\tfrac12x+2

is

\left(x,\tfrac12x+3\right)

if

x

is even and

\left(x,\tfrac12x+\tfrac52\right)

if

x

is odd.

The slope from

(0,2)

to that point is

\dfrac12+\dfrac1x

for even

x

and

\dfrac12+\dfrac{1}{2x}

for odd

x.

The minimum such slope is

\dfrac{51}{100}

for even

x

and

\dfrac{50}{99}

for odd

x.

Since

\dfrac{50}{99}\lt\dfrac{51}{100},

the line avoids all these lattice points exactly when

\dfrac12\lt m\lt\dfrac{50}{99},

so the maximum is

a=\dfrac{50}{99}.

Thus, the correct answer is B.

2011 AMC 12B 第 19 题

答案：B

难度评级：2090

小提示：

大提示：

解答：

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