2011 AMC 12A 第 19 题

Question

在一个有

N

名选手的比赛中，被授予精英身份的选手人数等于

2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N\text{。}

假设有

19

名选手被授予精英身份。

N

的两个最小可能值之和是多少？

注：

\lfloor x \rfloor

是小于或等于

x

的最大整数。

At a competition with

N

players, the number of players given elite status is equal to

2^{1 + \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor} - N.

Suppose that

19

players are given elite status. What is the sum of the two smallest possible values of

N?

Note:

\lfloor x \rfloor

is the greatest integer less than or equal to

x.

38

90

154

406

1024

答案：C

知识点：取整函数 2的幂分类讨论

难度评级：2150

小提示：

令

m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor

，则

N = 2^{m+1} - 19

Let

m = \lfloor \log_2 (N-1) \rfloor,

so

N = 2^{m+1} - 19

大提示：

为了使这个

m

一致，需有

2^m \le N - 1

，这迫使

2^m \ge 20

For that

m

to be consistent,

2^m \le N - 1,

which forces

2^m \ge 20

解答：

令

m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor

，则精英人数为

2^{m+1} - N = 19

，得

N = 2^{m+1} - 19

。

一致性要求

2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20

，即

2^m \ge 20

，所以

m \ge 5

。

两个最小选择是

m = 5

，给出

N = 64 - 19 = 45

，以及

m = 6

，给出

N = 128 - 19 = 109

。它们的和为

154

。

因此，正确答案是 C。

Let

m = \lfloor \log_2 (N - 1) \rfloor,

so the elite count is

2^{m+1} - N = 19,

giving

N = 2^{m+1} - 19.

Consistency requires

2^m \le N - 1 = 2^{m+1} - 20,

i.e.

2^m \ge 20,

so

m \ge 5.

The two smallest choices are

m = 5

giving

N = 64 - 19 = 45,

and

m = 6

giving

N = 128 - 19 = 109.

Their sum is

154.

Thus, the correct answer is C.

2011 AMC 12A 第 19 题

答案：C

难度评级：2150

小提示：

大提示：

解答：

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