2010 AMC 12B 第 9 题

Question

设

n

是满足以下条件的最小正整数：

n

可被

20

整除，

n^2

是完全立方数，且

n^3

是完全平方数。

n

有多少位数字？

Let

n

be the smallest positive integer such that

n

is divisible by

20,

n^2

is a perfect cube, and

n^3

is a perfect square. What is the number of digits of

n?

3

4

5

6

7

答案：E

知识点：质因数分解完全幂最小公倍数

难度评级：1520

小提示：

写成

n=2^a\cdot5^b

；任何额外的质因数只会使

n

更大

Write

n=2^a\cdot5^b;

any extra prime factor only makes

n

larger

大提示：

n^2

是立方数迫使

a

和

b

都是

3

的倍数；

n^3

是平方数迫使

a

和

b

都是

2

的倍数

n^2

a cube forces

a

and

b

to be multiples of

3;

n^3

a square forces

a

and

b

to be multiples of

2

解答：

为了最小，

n

只使用

20

的质因数，所以

n=2^a\cdot5^b

，其中

a\ge2

，

b\ge1

。

因为

n^2=2^{2a}5^{2b}

是完全立方数，

a

和

b

都是

3

的倍数。因为

n^3=2^{3a}5^{3b}

是完全平方数，

a

和

b

都是

2

的倍数。因此

a

和

b

都是

6

的倍数。

最小选择是

a=b=6

，所以

n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000

，它有

7

位数字。

因此，正确答案是 E。

To be smallest,

n

uses only the primes of

20,

so

n=2^a\cdot5^b

with

a\ge2

and

b\ge1.

Since

n^2=2^{2a}5^{2b}

is a perfect cube,

a

and

b

are multiples of

3.

Since

n^3=2^{3a}5^{3b}

is a perfect square,

a

and

b

are multiples of

2.

Hence

a

and

b

are multiples of

6.

The smallest choice is

a=b=6,

so

n=2^6\cdot5^6=10^6=1{,}000{,}000,

which has

7

digits.

Thus, the correct answer is E.

2010 AMC 12B 第 9 题

答案：E

难度评级：1520

小提示：

大提示：

解答：

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