Question

满足的实数 $x$ 构成若干形如 $a\lt x\le b$ 的区间之并。这些区间的长度之和是多少？ $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$

The set of real numbers $x$ for which $\begin{aligned} &\frac{1}{x-2009}+\frac{1}{x-2010} \\ &\quad {}+\frac{1}{x-2011}\ge1 \end{aligned}$ is the union of intervals of the form $a\lt x\le b.$ What is the sum of the lengths of these intervals?

$\dfrac{1003}{335}$

$\dfrac{1004}{335}$

$3$

$\dfrac{403}{134}$

$\dfrac{202}{67}$

答案：C

知识点：分式方程不等式韦达定理

难度评级：2320

解答：

设 $f(x)$ 为不等式的左边。在相邻的竖直渐近线 $2009, 2010, 2011$ 之间的每个区间上，函数 $f$ 都递减；而且对所有 $x\lt2009$ ，都有 $f\lt1$ 。

在 $(2009,2010)$ ， $(2010,2011)$ ，和 $(2011,\infty)$ ，上，解都是从左侧渐近线开始，到某个满足 $f(x_i)=1$ 。的 $x_i$ 为止。因此解集由三个区间组成，左端点为 $2009, 2010, 2011$ ，右端点为 $x_1, x_2, x_3$ 。

总长度是 $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030$ 。

在 $f(x)=1$ 中清除分母，得到它的三个根是 $x_1, x_2, x_3$ 。由韦达定理， $x_1+x_2+x_3=6033$ ，所以长度之和为 $6033-6030=3$ 。 $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$

因此，正确答案是 C。

Let $f(x)$ be the left-hand side. On each interval between consecutive asymptotes $2009, 2010, 2011,$ the function $f$ is decreasing, and $f\lt1$ for all $x\lt2009.$

On each of $(2009,2010),$ $(2010,2011),$ and $(2011,\infty),$ the solution is the part from the left asymptote up to a value $x_i$ where $f(x_i)=1.$ So the solution set consists of three intervals with left endpoints $2009, 2010, 2011$ and right endpoints $x_1, x_2, x_3.$

The total length is $(x_1-2009)$ $+(x_2-2010)$ $+(x_3-2011)$ $=x_1+x_2+x_3-6030.$

Clearing denominators in $f(x)=1$ gives $\begin{aligned} &x^3 \\ &\quad \small{}-(2009+2010+2011+3)x^2 \\ &\quad {}+\cdots=0, \end{aligned}$ whose roots are $x_1, x_2, x_3.$ By Vieta, $x_1+x_2+x_3=6033,$ so the sum of lengths is $6033-6030=3.$

Thus, the correct answer is C.

2010 AMC 12B 第 24 题

答案：C

难度评级：2320

解答：

其他年份的第 24 题