2010 AMC 12A 第 14 题

Question

非退化三角形

\triangle ABC

的边长都是整数，

\overline{BD}

是角平分线，

AD = 3

，

DC = 8

。周长的最小可能值是多少？

Nondegenerate

\triangle ABC

has integer side lengths,

\overline{BD}

is an angle bisector,

AD = 3,

and

DC = 8.

What is the smallest possible value of the perimeter?

30

33

35

36

37

答案：B

知识点：角平分线定理三角不等式最优化

难度评级：1600

小提示：

使用角平分线定理。

Use the Angle Bisector Theorem

大提示：

AB:BC=3:8

，并且

AC=11

。

AB:BC=3:8,

and

AC=11

解答：

由角平分线定理，

\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}

AB = \dfrac{3}{8} BC\text{。}

为使

AB

和

BC

都是整数，

BC

必须是

8

的倍数。

若为了最小化周长取

BC = 8

、

AB = 3

，三角形会退化。

因此

BC

必须取

16

，此时

AB = 6

。又

AC = AD + DC = 11

，周长为

16 + 6 + 11 = 33\text{。}

所以正确答案是 B。

Using the Angle Bisector Theorem, we have that

\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{8}

AB = \dfrac{3}{8} BC.

For

AB

and

BC

to be integers, we must have that

BC

is a multiple of

8.

To minimize the perimeter, we can set

BC = 8

and

AB = 3.

This, however, makes the triangle degenerate.

BC

must then be

16

and

AB = 6.

Since

AC = AD + DC = 11,

the perimeter is

16 + 6 + 11 = 33.

Thus, B is the correct answer.

2010 AMC 12A 第 14 题

答案：B

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

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