2008 AMC 12A 第 19 题

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19.

在展开式

\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2\text{，} \end{aligned}

中，

x^{28}

的系数是多少？

In the expansion of

\begin{aligned} &\left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{27}\right) \\ &\quad {}\cdot \left(1 + x + x^2 + \cdots + x^{14}\right)^2, \end{aligned}

what is the coefficient of

x^{28}?

195

196

224

378

405

答案：C

知识点：生成函数分拆与有序分拆

难度评级：1930

小提示：

一项形如

x^{a+b+c}

，其中

0 \le a \le 27

，

0 \le b, c \le 14

。

A term has the form

x^{a+b+c}

with

0 \le a \le 27

and

0 \le b, c \le 14

大提示：

对

(b, c)

的

15^2

种选择，除了

b = c = 0

外，都有唯一有效的

a

。

For each of the

15^2

pairs

(b, c),

there is a unique valid

a,

except when

b = c = 0

解答：

每项为

x^{a + b + c}

，其中

0 \le a \le 27

，

0 \le b, c \le 14

。要得到

x^{28}

，必须有

a = 28 - b - c

。

(b, c)

有

(14 + 1)^2 = 225

种选择。除了

(b, c) = (0, 0)

外，所需的

a = 28 - b - c

都在

[0, 27]

中。

因此

x^{28}

的系数为

225 - 1 = 224

。

所以正确答案是 C。

Each term is

x^{a + b + c}

with

0 \le a \le 27

and

0 \le b, c \le 14.

To get

x^{28}

we need

a = 28 - b - c.

There are

(14 + 1)^2 = 225

choices for

(b, c).

For every choice except

(b, c) = (0, 0),

the required

a = 28 - b - c

lies in

[0, 27],

giving a valid term.

The coefficient of

x^{28}

is therefore

225 - 1 = 224.

Thus, C is the correct answer.

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