2007 AMC 12B 第 19 题

Question

菱形

ABCD

的边长为

6

。把

\overline{AB}

与

\overline{DC}

粘在一起，卷成体积为

6

的圆柱。求

\sin(\angle ABC)

。

Rhombus

ABCD,

with side length

6,

is rolled to form a cylinder of volume

6

by taping

\overline{AB}

to

\overline{DC}.

What is

\sin(\angle ABC)?

\dfrac{\pi}{9}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{\pi}{6}

\dfrac{\pi}{4}

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

答案：A

知识点：圆柱菱形三角学

难度评级：1830

小提示：

粘合

\overline{AB}

与

\overline{DC}

后，长度

6

的边成为底面圆周长，所以半径为

\frac{3}{\pi}

。

Taping

\overline{AB}

to

\overline{DC}

makes a side of length

6

the base circumference, so the radius is

\frac{3}{\pi}

大提示：

圆柱高是菱形的高

6\sin\theta

；令体积等于

6

。

The cylinder’s height is the rhombus altitude

6\sin\theta;

set the volume equal to

6

解答：

令

\theta=\angle ABC

。底面圆周长为

6

，所以半径为

\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi

。圆柱高为菱形的高

6\sin\theta

。

体积为

\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6\text{，}

所以

\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}

。

所以正确答案是 A。

Let

\theta=\angle ABC.

The base circle has circumference

6,

so its radius is

\dfrac{6}{2\pi}=\dfrac3\pi.

The height of the cylinder is the rhombus altitude

6\sin\theta.

The volume is

\pi\left(\dfrac3\pi\right)^2(6\sin\theta)=\dfrac{54}{\pi}\sin\theta=6,

so

\sin\theta=\dfrac{\pi}{9}.

Thus, the correct answer is A.

2007 AMC 12B 第 19 题

答案：A

难度评级：1830

小提示：

大提示：

解答：

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