2007 AMC 12A 第 22 题

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22.

对每个正整数

n

，设

S(n)

表示

n

的各位数字之和。有多少个

n

满足

n+S(n)+S(S(n))=2007

？

For each positive integer

n,

let

S(n)

denote the sum of the digits of

n.

For how many values of

n

is

n+S(n)+S(S(n))=2007?

1

2

3

4

5

答案：D

知识点：数字模运算极限情形界定

难度评级：1910

小提示：

n

、

S(n)

和

S(S(n))

三者模

9

的余数相同。

All three of

n,

S(n),

and

S(S(n))

leave the same remainder modulo

9

大提示：

因为

2007

是

9

的倍数，所以三者都是

3

的倍数；此外

n\ge 2007-28-10

。

Since

2007

is a multiple of

9,

each is a multiple of

3

; also

n\ge 2007-28-10

解答：

对

n\le 2007

有

S(n)\le S(1999)=28

，进而

S(S(n))\le S(28)=10

。所以任何解都满足

n\ge 2007-28-10=1969

。

又因为

n

、

S(n)

和

S(S(n))

模

9

同余，而

2007

是

9

的倍数，所以三者都必须是

3

的倍数。

检查

1969

到

2007

之间的

3

的倍数（许多数会因

n+S(n)

已超过

2007

而被排除），剩下

1977,1980,1983

和

2001

。共有

4

个值。

因此，正确答案是 D。

For

n\le 2007,

S(n)\le S(1999)=28,

and then

S(S(n))\le S(28)=10.

So any solution has

n\ge 2007-28-10=1969.

Also

n,

S(n),

and

S(S(n))

are congruent modulo

9,

and

2007

is a multiple of

9,

so all three must be multiples of

3.

Checking the multiples of

3

between

1969

and

2007

(many are eliminated because

n+S(n)

already exceeds

2007

) leaves

1977,1980,1983,

and

2001.

That is

4

values.

Thus, the correct answer is D.

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