2005 AMC 12B 第 8 题

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8.

对多少个

a

的值，直线

y = x + a

经过抛物线

y = x^2 + a^2

的顶点？

For how many values of

a

is it true that the line

y = x + a

passes through the vertex of the parabola

y = x^2 + a^2?

0

1

2

10

无限多个

infinitely many

答案：C

知识点：抛物线二次方程

难度评级：1350

小提示：

y = x^2 + a^2

的顶点是

(0, a^2)

。

The vertex of

y = x^2 + a^2

is

(0, a^2)

大提示：

把顶点代入直线，得到

a^2 = a

。

Substitute the vertex into the line to get

a^2 = a

解答：

抛物线

y = x^2 + a^2

的顶点为

(0, a^2)

。

直线

y = x + a

经过该点当且仅当

a^2 = 0 + a

，即

a^2 - a = 0

。

所以

a = 0

或

a = 1

，共有

2

个值。

所以正确答案是 C。

The vertex of the parabola

y = x^2 + a^2

is

(0, a^2).

The line

y = x + a

passes through it exactly when

a^2 = 0 + a,

that is

a^2 - a = 0.

This gives

a = 0

or

a = 1,

so there are

2

values.

Thus, the correct answer is C.

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