Question

设 $x$ 和 $y$ 为两位整数，且 $y$ 是把 $x$ 的数字反过来得到的。整数 $x$ 和 $y$ 满足 $x^2 - y^2 = m^2$ ，其中 $m$ 为正整数。求 $x + y + m$ 。

Let $x$ and $y$ be two-digit integers such that $y$ is obtained by reversing the digits of $x.$ The integers $x$ and $y$ satisfy $x^2 - y^2 = m^2$ for some positive integer $m.$ What is $x + y + m?$

$88$

$112$

$116$

$144$

$154$

答案：E

知识点：数字平方差完全平方数

难度评级：1840

解答：

设 $x = 10a + b$ 、 $y = 10b + a$ ，其中 $a \gt b.$ 则 $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

因为 $99 = 9 \cdot 11,$ 要使它成为完全平方数，必须有 $11 \mid (a+b)(a-b).$ 由于 $a + b \le 17$ ，且 $a - b \le 8,$ 可用的唯一 $11$ 的倍数是 $a + b = 11.$

此时 $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ 它为完全平方数，当且仅当 $a - b$ 是完全平方数。因为 $a+b=11$ 是奇数，所以 $a-b$ 是奇数；又因为 $1 \le a-b \le 8,$ 唯一可能的平方值为 $1.$ 因此 $(a, b) = (6, 5).$

所以 $x = 65,$ $y = 56,$ 且 $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ ，也就是 $= \sqrt{1089} = 33.$ 因此 $x + y + m$ 的值为 $= 65 + 56 + 33 = 154.$

所以正确答案是 E。

Let $x = 10a + b$ and $y = 10b + a$ with $a \gt b.$ Then $\begin{aligned} &x^2 - y^2 = (10a+b)^2 \\ &\quad {}- (10b+a)^2 \\ &= 99(a^2 - b^2) \\ &= 99(a+b)(a-b). \end{aligned}$

Since $99 = 9 \cdot 11,$ for this to be a perfect square we need $11 \mid (a+b)(a-b).$ As $a + b \le 17$ and $a - b \le 8,$ the only multiple of $11$ available is $a + b = 11.$

Then $x^2 - y^2 = 9 \cdot 11^2 (a - b),$ which is a perfect square exactly when $a - b$ is a perfect square. Because $a+b=11$ is odd, $a-b$ is odd; and because $1 \le a-b \le 8,$ its only possible square value is $1.$ Hence $(a, b) = (6, 5).$

So $x = 65,$ $y = 56,$ and $m = \sqrt{65^2 - 56^2}$ $= \sqrt{1089} = 33.$ Thus $x + y + m$ $= 65 + 56 + 33 = 154.$

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12B 第 19 题

答案：E

难度评级：1840

解答：

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