2005 AMC 12B 第 14 题

先试着解答 2005 AMC 12B 第 14 题，然后核对你的答案与精心整理的解答，解答来自 LIVE by Po-Shen Loh。你也可以参加完整限时模拟考试、查看全部 2005 AMC 12B 解答，或核对答案。

所有题目均经美国数学协会（MAA）官方合法授权使用。

14.

一个圆的圆心为

(0, k)

，其中

k \gt 6

。该圆与直线

y = x

、

y = -x

和

y = 6

都相切。该圆的半径是多少？

A circle having center

(0, k),

with

k \gt 6,

is tangent to the lines

y = x,

y = -x

and

y = 6.

What is the radius of this circle?

6\sqrt{2} - 6

6

6\sqrt{2}

12

6 + 6\sqrt{2}

答案：E

知识点：圆切线坐标几何

难度评级：1630

小提示：

与

y = 6

相切、圆心为

(0,k)

且

k \gt 6

，可得

r = k - 6

。

Tangency to

y = 6

with center

(0,k)

and

k \gt 6

gives

r = k - 6

大提示：

点

(0,k)

到直线

y = x

的距离是

\dfrac{k}{\sqrt2}

，这个距离也等于

r

。

The distance from

(0,k)

to the line

y = x

is

\dfrac{k}{\sqrt2},

and it also equals

r

解答：

圆与

y = 6

相切，且圆心

(0, k)

在其上方，所以半径为

r = k - 6

。

点

(0, k)

到直线

x - y = 0

的距离为

\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2}

，这也等于

r

。

令

\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6

，得

k = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2 - 1}

= 6\sqrt2\,(\sqrt2+1)

= 12 + 6\sqrt2

。

因此

r = k - 6 = 6 + 6\sqrt2

。

所以正确答案是 E。

Since the circle is tangent to

y = 6

and its center

(0, k)

is above that line, the radius is

r = k - 6.

The distance from

(0, k)

to the line

x - y = 0

is

\dfrac{|0 - k|}{\sqrt2} = \dfrac{k}{\sqrt2},

and this must also equal

r.

Setting

\dfrac{k}{\sqrt2} = k - 6

gives

k = \dfrac{6\sqrt2}{\sqrt2 - 1}

= 6\sqrt2\,(\sqrt2+1)

= 12 + 6\sqrt2.

Then

r = k - 6 = 6 + 6\sqrt2.

Thus, the correct answer is E.

其他年份的第 14 题