2005 AMC 12B 第 10 题

Question

一个数列的第一项是

2005

。每一项之后的下一项等于前一项各位数字的立方和。该数列的第

2005

项是多少？

The first term of a sequence is

2005.

Each succeeding term is the sum of the cubes of the digits of the previous term. What is the

2005

th term of the sequence?

29

55

85

133

250

答案：E

知识点：数字递推找规律

难度评级：1440

小提示：

计算前几项并寻找循环。

Compute the first several terms and look for a repeating cycle

大提示：

一旦某个值重复出现，后面的各项就以同样的周期循环；用项的序号对该周期取模即可。

Once a value repeats, the later terms repeat with the same period; use the term index modulo that period

解答：

数列开始为

2005, 133, 55, 250, 133, \ldots

，因为

2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133

，

1^3 + 3^3 + 3^3 = 55

，

5^3 + 5^3 = 250

，且

2^3 + 5^3 + 0^3 = 133

。

在首项

2005

之后，数列以

133, 55, 250

为周期

3

循环。

当

n \ge 2

时，第

n

项是序列

133, 55, 250

中索引为

((n-2)\bmod 3)

的一项。因为

2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3

，所以第

2005

项是

250

。

所以正确答案是 E。

The sequence begins

2005, 133, 55, 250, 133, \ldots

since

2^3 + 0^3 + 0^3 + 5^3 = 133,

1^3 + 3^3 + 3^3 = 55,

5^3 + 5^3 = 250,

and

2^3 + 5^3 + 0^3 = 133.

After the initial

2005,

the terms cycle through

133, 55, 250

with period

3.

Term

n

for

n \ge 2

is the

((n-2)\bmod 3)

th entry of

133, 55, 250.

Since

2005 - 2 = 2003 \equiv 2 \pmod 3,

the

2005

th term is

250.

Thus, the correct answer is E.

2005 AMC 12B 第 10 题

答案：E

难度评级：1440

小提示：

大提示：

解答：

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