2005 AMC 12A 第 8 题

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8.

设

A

、

M

、

C

为数字，且

\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005\text{。} \end{aligned}

求

A

。

Let

A,

M,

and

C

be digits with

\begin{aligned} &(100A + 10M + C) \\ &\quad {}\cdot (A + M + C) = 2005. \end{aligned}

What is

A?

1

2

3

4

5

答案：D

知识点：质因数分解数字极限情形界定

难度评级：1350

小提示：

把

2005

分解质因数。

Factor

2005

into primes

大提示：

数字和

A + M + C

至多为

27

，这会确定它等于哪个因数。

The digit sum

A + M + C

is at most

27,

which pins down which factor it equals

解答：

因为

A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27

，且

2005 = 5 \cdot 401

，所以数字和只能是

1

或

5

。它不能是

1

，否则就有

100A+10M+C=2005>999

。因此它只能是较小的那个非平凡因数：

\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5 \end{aligned}\text{。}

由第一式可直接读出

A = 4

、

M = 0

、

C = 1

。

所以正确答案是 D。

Since

A + M + C \le 9 + 9 + 9 = 27,

and

2005 = 5 \cdot 401,

the digit sum can only be

1

or

5.

It cannot be

1,

because then

100A+10M+C=2005>999.

Thus it must be the smaller nontrivial factor:

\begin{aligned} &100A + 10M + C = 401, \\ &\quad A + M + C = 5. \end{aligned}

Reading off the digits,

A = 4,

M = 0,

and

C = 1.

Thus, the correct answer is D.

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