Question

一个长方体 $P$ 内接于半径为 $r$ 的球。 $P$ 的表面积为 $384$ ，其 $12$ 条棱长之和为 $112$ 。求 $r$ ？

A rectangular box $P$ is inscribed in a sphere of radius $r.$ The surface area of $P$ is $384,$ and the sum of the lengths of its $12$ edges is $112.$ What is $r?$

$8$

$10$

$12$

$14$

$16$

答案：B

知识点：长方体球代数变形

难度评级：1990

解答：

设长方体的尺寸为 $x, y, z$ 。 $12$ 条棱给出 $4(x + y + z) = 112$ ，所以 $x + y + z = 28$ ；表面积给出 $2xy + 2yz + 2xz = 384$ 。

空间对角线是球的直径，因此 $\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}$

因此 $2r = 20$ ，所以 $r = 10$ 。

所以正确答案是 B。

Let the dimensions be $x, y, z.$ The $12$ edges give $4(x + y + z) = 112,$ so $x + y + z = 28,$ and the surface area gives $2xy + 2yz + 2xz = 384.$

The space diagonal is a diameter of the sphere, so $\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}$

Thus $2r = 20$ and $r = 10.$

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：1990

解答：

其他年份的第 22 题