2005 AMC 12A 第 22 题

Question

一个长方体

P

内接于半径为

r

的球。

P

的表面积为

384

，其

12

条棱长之和为

112

。

r

是多少？

A rectangular box

P

is inscribed in a sphere of radius

r.

The surface area of

P

is

384,

and the sum of the lengths of its

12

edges is

112.

What is

r?

8

10

12

14

16

答案：B

知识点：长方体球代数变形

难度评级：1990

小提示：

设长方体尺寸为

x, y, z

。棱长和给出

x + y + z

，表面积给出

2xy + 2yz + 2xz

。

Let the dimensions be

x, y, z.

The edge sum gives

x + y + z

and the surface area gives

2xy + 2yz + 2xz

大提示：

球的直径等于长方体的空间对角线，因此

(2r)^2

= x^2 + y^2 + z^2

= (x+y+z)^2

- (2xy + 2yz + 2xz)

。

The sphere’s diameter is the space diagonal:

(2r)^2

= x^2 + y^2 + z^2

= (x+y+z)^2

- (2xy + 2yz + 2xz)

解答：

设长方体的尺寸为

x, y, z

。

12

条棱给出

4(x + y + z) = 112

，所以

x + y + z = 28

；表面积给出

2xy + 2yz + 2xz = 384

。

空间对角线是球的直径，因此

\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400 \end{aligned}\text{。}

因此

2r = 20

，所以

r = 10

。

所以正确答案是 B。

Let the dimensions be

x, y, z.

The

12

edges give

4(x + y + z) = 112,

so

x + y + z = 28,

and the surface area gives

2xy + 2yz + 2xz = 384.

The space diagonal is a diameter of the sphere, so

\begin{aligned} &(2r)^2 = x^2 + y^2 + z^2 \\ &= (x + y + z)^2 \\ &\quad {}- (2xy + 2yz + 2xz) \\ &= 28^2 - 384 = 400. \end{aligned}

Thus

2r = 20

and

r = 10.

Thus, the correct answer is B.

2005 AMC 12A 第 22 题

答案：B

难度评级：1990

小提示：

大提示：

解答：

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