2004 AMC 12B 第 25 题

Question

已知

2^{2004}

是一个

604

位数，且首位数字是

1

，集合

S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}

中有多少个元素的首位数字是

4

？

Given that

2^{2004}

is a

604

-digit number whose first digit is

1,

how many elements of the set

S = \{2^0, 2^1, 2^2, \ldots, 2^{2003}\}

have a first digit of

4?

194

195

196

197

198

答案：B

知识点：数字找规律

难度评级：2360

小提示：

2^k

的位数恰好在首位数字导致进位时增加

1

。

The number of digits of

2^k

increases by

1

exactly when its leading digit forces a carry

大提示：

一个

2

的幂首位是

8

或

9

，当且仅当前一个幂的首位是

4

。

A power of

2

has leading digit

8

or

9

precisely when the previous power has leading digit

4

解答：

具有任意固定位数的最小

2

的幂位于

10^k

和

2\cdot10^k

之间，所以首位数字为

1

。因为

2^{2004}

是以

1

开头的

604

位数，它是位数为

604

的第一个幂。因此集合

S

对从

1

到

603

的每一种位数恰含一个首位为

1

的数，共

603

个。

在每个首位为

1

的幂之后，下一个幂的首位为

2

或

3

，再下一个幂的首位为

4, 5, 6

，或

7

。所以有

603

个元素首位为

2

或

3

，另有

603

个元素首位从

4

到

7

，剩余

2004 - 3(603) = 195

个元素首位为

8

或

9

。

最后，把首位为

8

或

9

的幂除以二，会得到前一个首位为

4

的幂；把任意首位为

4

的幂乘以二正好是逆操作。这是一个双射，所以首位数字为

4

的元素有

195

个。

所以正确答案是 B。

The smallest power of

2

with any given digit-count lies between

10^k

and

2\cdot10^k,

so it has leading digit

1.

Because

2^{2004}

is a

604

-digit number beginning with

1,

it is the first

604

-digit power. Thus the powers in

S

contain exactly one leading-

1

number for each digit-count from

1

through

603,

or

603

in all.

After each leading-

1

power, the next power leads with

2

or

3,

and the following power leads with

4, 5, 6,

or

7.

Hence

603

elements lead with

2

or

3,

another

603

lead with

4

through

7,

and the remaining

2004 - 3(603) = 195

lead with

8

or

9.

Finally, halving a power that leads with

8

or

9

produces the preceding power with leading digit

4,

and doubling any leading-

4

power reverses this. This is a bijection, so there are

195

elements with first digit

4.

Thus, the correct answer is B.

2004 AMC 12B 第 25 题

答案：B

难度评级：2360

小提示：

大提示：

解答：

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