2003 AMC 12B 第 22 题

Question

设

ABCD

是菱形，且

AC = 16

，

BD = 30

。设

N

是

\overline{AB}

上一点，

P

和

Q

分别是从

N

到

\overline{AC}

和

\overline{BD}

的垂足。下列哪一项最接近

PQ

的最小可能值？

Let

ABCD

be a rhombus with

AC = 16

and

BD = 30.

Let

N

be a point on

\overline{AB},

and let

P

and

Q

be the feet of the perpendiculars from

N

to

\overline{AC}

and

\overline{BD},

respectively. Which of the following is closest to the minimum possible value of

PQ?

6.5

6.75

7

7.25

7.5

答案：C

知识点：菱形高线最优化

难度评级：2020

小提示：

设

O

为中心；菱形对角线垂直，所以

OPNQ

是长方形，且

PQ = ON

Let

O

be the center; the diagonals meet at right angles, so

OPNQ

is a rectangle and

PQ = ON

大提示：

当

N

是直角三角形

AOB

中从

O

向斜边作的垂足时，

ON

最小，其中两条直角边为

8

和

15

ON

is smallest when

N

is the foot of the altitude from

O

in right triangle

AOB

with legs

8

and

15

解答：

设

O

为两条对角线的交点。则

\triangle AOB

在

O

处为直角，且

OA = 8

，

OB = 15

。四边形

OPNQ

在

O

，

P

，

Q

处均为直角，所以它是长方形，且

PQ = ON

。

ON

的最小值是在

\triangle AOB

中从

O

到

\overline{AB}

的高。因为

AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17

，由两种面积表达式相等，得

\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06 \end{aligned}\text{。}

这最接近

7

。

因此，正确答案是 C。

Let

O

be the intersection of the diagonals. Then

\triangle AOB

is right-angled at

O

with legs

OA = 8

and

OB = 15.

Quadrilateral

OPNQ

has right angles at

O,

P,

and

Q,

so it is a rectangle and

PQ = ON.

The minimum of

ON

is the altitude from

O

to

\overline{AB}

in

\triangle AOB.

Since

AB = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17,

equating the two area expressions gives

\begin{aligned} ON &= \frac{OA \cdot OB}{AB} \\ &= \frac{8 \cdot 15}{17} \\ &= \frac{120}{17} \approx 7.06. \end{aligned}

This is closest to

7.

Thus, the correct answer is C.

2003 AMC 12B 第 22 题

答案：C

难度评级：2020

小提示：

大提示：

解答：

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