2003 AMC 12B 第 14 题

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14.

在长方形

ABCD

中，

AB = 5

，

BC = 3

。点

F

和

G

在

\overline{CD}

上，且

DF = 1

，

GC = 2

。直线

AF

与

BG

相交于

E

。求

\triangle AEB

的面积。

In rectangle

ABCD,

AB = 5

and

BC = 3.

Points

F

and

G

are on

\overline{CD}

so that

DF = 1

and

GC = 2.

Lines

AF

and

BG

intersect at

E.

Find the area of

\triangle AEB.

10

\dfrac{21}{2}

12

\dfrac{25}{2}

15

答案：D

知识点：相似三角形面积

难度评级：1580

小提示：

FG = 5 - 1 - 2 = 2

，且

\triangle FEG

与

\triangle AEB

相似

FG = 5 - 1 - 2 = 2,

and

\triangle FEG

is similar to

\triangle AEB

大提示：

设

E

到直线

CD

的距离为

k

；到

AB

的距离为

k + 3

，且

\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}

Let the distance from

E

to line

CD

be

k;

the distance to

AB

is

k + 3,

with ratio

\dfrac{k}{k+3} = \dfrac{2}{5}

解答：

因为

FG = 5 - 1 - 2 = 2

，且

\overline{FG} \parallel \overline{AB}

，所以三角形

FEG

与

AEB

相似，相似比为

\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}

。

设

E

到直线

CD

的距离为

k

，则

E

到

AB

的距离为

k + 3

，且

\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5}\text{，}

解得

k = 2

。

\triangle AEB

的高为

k + 3 = 5

，所以面积为

\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}\text{。}

因此，正确答案是 D。

Since

FG = 5 - 1 - 2 = 2

and

\overline{FG} \parallel \overline{AB},

triangles

FEG

and

AEB

are similar with ratio

\dfrac{FG}{AB} = \dfrac{2}{5}.

Let the distance from

E

to line

CD

be

k.

Then the distance from

E

to

AB

is

k + 3,

and

\frac{k}{k + 3} = \frac{2}{5},

giving

k = 2.

The height of

\triangle AEB

is

k + 3 = 5,

so its area is

\frac{1}{2}(5)(5) = \frac{25}{2}.

Thus, the correct answer is D.

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