2003 AMC 12A 第 14 题

Question

点

K

、

L

、

M

、

N

位于正方形

ABCD

所在平面内，使得

AKB

、

BLC

、

CMD

、

DNA

都是等边三角形。若

ABCD

的面积为

16

，求

KLMN

的面积。

Points

K,

L,

M,

and

N

lie in the plane of the square

ABCD

so that

AKB,

BLC,

CMD,

and

DNA

are equilateral triangles. If

ABCD

has an area of

16,

find the area of

KLMN.

32

16 + 16\sqrt{3}

48

32 + 16\sqrt{3}

64

答案：D

知识点：等边三角形正方形（几何）对称性

难度评级：1570

小提示：

由图形的旋转对称性可知，

KLMN

是正方形。

KLMN

is a square by the rotational symmetry of the figure

大提示：

它的对角线

KM

等于原正方形边长加上两个三角形高

2\sqrt3

。

Its diagonal

KM

equals the square’s side plus twice the triangle height

2\sqrt3

解答：

正方形

ABCD

边长为

4

。由

90^\circ

旋转对称性可知，

KLMN

也是正方形。

每个边长为

4

的等边三角形高为

2\sqrt3

，所以对角线

KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3

。

对角线为

d

的正方形面积是

\dfrac12 d^2

，因此

[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2

=32+16\sqrt3

。

所以正确答案是 D。

The square

ABCD

has side

4.

By the

90^\circ

rotational symmetry,

KLMN

is also a square.

Each equilateral triangle on a side of length

4

has height

2\sqrt3,

so the diagonal

KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.

A square with diagonal

d

has area

\dfrac12 d^2,

so

[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2

=32+16\sqrt3.

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12A 第 14 题

答案：D

难度评级：1570

小提示：

大提示：

解答：

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