Question

点 $K$ 、 $L$ 、 $M$ 、 $N$ 位于正方形 $ABCD$ 所在平面内，使得 $AKB$ 、 $BLC$ 、 $CMD$ 、 $DNA$ 都是等边三角形。若 $ABCD$ 的面积为 $16$ ，求 $KLMN$ 的面积。

Points $K,$ $L,$ $M,$ and $N$ lie in the plane of the square $ABCD$ so that $AKB,$ $BLC,$ $CMD,$ and $DNA$ are equilateral triangles. If $ABCD$ has an area of $16,$ find the area of $KLMN.$

$32$

$16 + 16\sqrt{3}$

$48$

$32 + 16\sqrt{3}$

$64$

答案：D

知识点：等边三角形正方形（几何）对称性

难度评级：1570

解答：

正方形 $ABCD$ 边长为 $4$ 。由 $90^\circ$ 旋转对称性可知， $KLMN$ 也是正方形。

每个边长为 $4$ 的等边三角形高为 $2\sqrt3$ ，所以对角线 $KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3$ 。

对角线为 $d$ 的正方形面积是 $\dfrac12 d^2$ ，因此 $[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2$ $=32+16\sqrt3$ 。

所以正确答案是 D。

The square $ABCD$ has side $4.$ By the $90^\circ$ rotational symmetry, $KLMN$ is also a square.

Each equilateral triangle on a side of length $4$ has height $2\sqrt3,$ so the diagonal $KM=4+2(2\sqrt3)=4+4\sqrt3.$

A square with diagonal $d$ has area $\dfrac12 d^2,$ so $[KLMN]=\dfrac12(4+4\sqrt3)^2$ $=32+16\sqrt3.$

Thus, the correct answer is D.

2003 AMC 12A 第 14 题

答案：D

难度评级：1570

解答：

其他年份的第 14 题