2002 AMC 12B 第 25 题

Question

设

f(x)=x^2+6x+1

，并设

R

表示坐标平面中满足

f(x)+f(y)\le0

且

f(x)-f(y)\le0

的点

(x,y)

的集合。

R

的面积最接近

Let

f(x)=x^2+6x+1,

and let

R

denote the set of points

(x,y)

in the coordinate plane such that

f(x)+f(y)\le0

and

f(x)-f(y)\le0.

The area of

R

is closest to

21

22

23

24

25

答案：E

知识点：配方法圆面积

难度评级：2260

小提示：

配方可得

f(x)+f(y)

=(x+3)^2+(y+3)^2-16

。

Complete the square:

f(x)+f(y)

=(x+3)^2+(y+3)^2-16

大提示：

第一个条件给出半径为

4

的圆盘；第二个条件

(x-y)(x+y+6)\le0

保留其中一半。

The first condition is a disk of radius

4

; the second,

(x-y)(x+y+6)\le0,

keeps half of it

解答：

配方得

\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16\text{，} \end{gathered}

所以第一个条件表示以

(-3,-3)

为圆心、半径为

4

的圆盘。

又

\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6)\text{，} \end{gathered}

因此第二个条件

(x-y)(x+y+6)\le0

表示由过

(-3,-3)

、斜率分别为

1

和

-1

的两条垂直直线所确定的两个半平面。这些直线把圆盘分成两半。

因此

R

的面积为

\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13

，最接近

25

。

所以正确答案是 E。

Completing the square,

\begin{gathered} f(x)+f(y) \\ {}=(x+3)^2+(y+3)^2-16, \end{gathered}

so the first condition is the disk of radius

4

centered at

(-3,-3).

Also

\begin{gathered} f(x)-f(y) \\ {}=(x-y)(x+y+6), \end{gathered}

so the second condition

(x-y)(x+y+6)\le0

describes two half-planes bounded by the perpendicular lines through

(-3,-3)

of slopes

1

and

-1.

These cut the disk into two equal halves.

Thus

R

has area

\tfrac12\pi\cdot4^2=8\pi\approx25.13,

which is closest to

25.

Thus, the correct answer is E.

2002 AMC 12B 第 25 题

答案：E

难度评级：2260

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 25 题