2002 AMC 12A 第 22 题

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22.

三角形

ABC

是直角三角形，

\angle ACB

为直角，

m\angle ABC = 60^\circ

，且

AB = 10

。在

\triangle ABC

内随机选一点

P

，再将

\overline{BP}

延长交

\overline{AC}

于

D

。求

BD \gt 5\sqrt{2}

的概率。

Triangle

ABC

is a right triangle with

\angle ACB

as its right angle,

m\angle ABC = 60^\circ,

and

AB = 10.

Let

P

be randomly chosen inside

\triangle ABC,

and extend

\overline{BP}

to meet

\overline{AC}

at

D.

What is the probability that

BD \gt 5\sqrt{2}?

\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5}

答案：C

知识点：几何概率面积比特殊直角三角形

难度评级：1990

小提示：

\triangle ABC

是

30

-

60

-

90

三角形，其中

BC = 5

，

AC = 5\sqrt{3}

。

\triangle ABC

is

30

-

60

-

90

with

BC = 5

and

AC = 5\sqrt{3}

大提示：

在

\overline{AC}

上取点

E

，使

CE = 5

，则

BE = 5\sqrt{2}

；此时

BD \gt 5\sqrt{2}

当且仅当

P

落在

\triangle ABE

内。

Choose

E

on

\overline{AC}

with

CE = 5,

so

BE = 5\sqrt{2};

then

BD \gt 5\sqrt{2}

iff

P

lies inside

\triangle ABE

解答：

因为

AB = 10

且

\angle ABC = 60^\circ

，这个

30

-

60

-

90

三角形满足

BC = 5

，

AC = 5\sqrt3

。

在

\overline{AC}

上取点

E

，使

CE = 5

，则

BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2

。当

D

沿

\overline{AC}

移动时，

BD = \sqrt{25 + CD^2}

。它超过

5\sqrt2

正好等价于

CD \gt 5

，也就是

D

位于

E

的外侧；这又当且仅当

P

在

\triangle ABE

内。

所求概率为

\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3} \end{aligned}\text{。}

因此，正确答案是 C。

Since

AB = 10

and

\angle ABC = 60^\circ,

the

30

-

60

-

90

triangle has

BC = 5

and

AC = 5\sqrt3.

Place

E

on

\overline{AC}

with

CE = 5;

then

BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.

As

D

moves along

\overline{AC},

BD = \sqrt{25 + CD^2}

exceeds

5\sqrt2

exactly when

CD \gt 5,

i.e. when

D

lies beyond

E,

which happens iff

P

is inside

\triangle ABE.

The probability is

\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}

Thus, the correct answer is C.

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