Question

三角形 $ABC$ 是直角三角形， $\angle ACB$ 为直角， $m\angle ABC = 60^\circ$ ，且 $AB = 10$ 。在 $\triangle ABC$ 内随机选一点 $P$ 将 $\overline{BP}$ 延长交 $\overline{AC}$ 于 $D$ 。求 $BD \gt 5\sqrt{2}$ 的概率。

Triangle $ABC$ is a right triangle with $\angle ACB$ as its right angle, $m\angle ABC = 60^\circ,$ and $AB = 10.$ Let $P$ be randomly chosen inside $\triangle ABC,$ and extend $\overline{BP}$ to meet $\overline{AC}$ at $D.$ What is the probability that $BD \gt 5\sqrt{2}?$

$\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{3 - \sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{5 - \sqrt{5}}{5}$

答案：C

知识点：几何概率面积比特殊直角三角形

难度评级：1990

解答：

因为 $AB = 10$ 且 $\angle ABC = 60^\circ$ ，这个 $30$ - $60$ - $90$ 三角形满足 $BC = 5$ ， $AC = 5\sqrt3$ 。

在 $\overline{AC}$ 上取点 $E$ ，使 $CE = 5$ ，则 $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2$ 。当 $D$ 沿 $\overline{AC}$ 移动时， $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ 。它超过 $5\sqrt2$ 正好等价于 $CD \gt 5$ ，也就是 $D$ 位于 $E$ 的外侧；这又当且仅当 $P$ 在 $\triangle ABE$ 内。

所求概率为 $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}$

因此，正确答案是 C。

Since $AB = 10$ and $\angle ABC = 60^\circ,$ the $30$ - $60$ - $90$ triangle has $BC = 5$ and $AC = 5\sqrt3.$

Place $E$ on $\overline{AC}$ with $CE = 5;$ then $BE = \sqrt{5^2 + 5^2} = 5\sqrt2.$ As $D$ moves along $\overline{AC},$ $BD = \sqrt{25 + CD^2}$ exceeds $5\sqrt2$ exactly when $CD \gt 5,$ i.e. when $D$ lies beyond $E,$ which happens iff $P$ is inside $\triangle ABE.$

The probability is $\begin{aligned} \dfrac{[ABE]}{[ABC]} &= \dfrac{EA}{CA} \\ &= \dfrac{5\sqrt3 - 5}{5\sqrt3} \\ &= \dfrac{3 - \sqrt3}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2002 AMC 12A 第 22 题

答案：C

难度评级：1990

解答：

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