2002 AMC 12A 第 14 题

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14.

对所有正整数

n

，定义

f(n) = \log_{2002} n^2

。令

N = f(11) + f(13) + f(14)\text{。}

下列哪个关系成立？

For all positive integers

n,

let

f(n) = \log_{2002} n^2.

Let

N = f(11) + f(13) + f(14).

Which of the following relations is true?

N \gt 1

N = 1

1 \lt N \lt 2

N = 2

N \gt 2

答案：D

知识点：对数

难度评级：1500

小提示：

f(n) = \log_{2002} n^2 = 2\log_{2002} n

。

f(n) = \log_{2002} n^2 = 2\log_{2002} n

大提示：

合并为

N = \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2

，再计算里面的乘积。

Combine into

N = \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2

and evaluate the product inside

解答：

利用

\log a^2 = 2\log a

并合并对数，

\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2 \end{aligned}\text{。}

因为

11\cdot 13\cdot 14 = 2002

，所以这是

\log_{2002} 2002^2 = 2

。

因此，正确答案是 D。

Using

\log a^2 = 2\log a

and adding logs,

\begin{aligned} N &= \log_{2002} 11^2 + \log_{2002} 13^2 \\ &\quad {}+ \log_{2002} 14^2 \\ &= \log_{2002}(11\cdot 13\cdot 14)^2. \end{aligned}

Since

11\cdot 13\cdot 14 = 2002,

this is

\log_{2002} 2002^2 = 2.

Thus, the correct answer is D.

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