Question

在矩形 $ABCD$ 中，点 $F$ 和 $G$ 在 $\overline{AB}$ 上，使得 $AF = FG = GB$ ，而 $E$ 是 $\overline{DC}$ 的中点。另外， $\overline{AC}$ 与 $\overline{EF}$ 交于 $H$ ，与 $\overline{EG}$ 交于 $J$ 。矩形 $ABCD$ 的面积为 $70$ 。求三角形 $EHJ$ 的面积。

In rectangle $ABCD,$ points $F$ and $G$ lie on $\overline{AB}$ so that $AF = FG = GB$ and $E$ is the midpoint of $\overline{DC}.$ Also, $\overline{AC}$ intersects $\overline{EF}$ at $H$ and $\overline{EG}$ at $J.$ The area of rectangle $ABCD$ is $70.$ Find the area of triangle $EHJ.$

$\dfrac{5}{2}$

$\dfrac{35}{12}$

$3$

$\dfrac{7}{2}$

$\dfrac{35}{8}$

答案：C

知识点：相似面积比

难度评级：1870

解答：

三角形 $EFG$ 的底边 $FG = \dfrac{1}{3}AB$ 高等于矩形的高，所以它的面积是 $\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}$ 。

因为 $EC \parallel AF$ ，三角形 $AFH$ 与 $CEH$ 相似，比例为 $\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2}$ ，所以 $\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}$ 。同理 $\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}$ 。

因此 $\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}$ $= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}$ $= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{9}{35}$ ，得 $[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.$

因此，正确答案是 C。

Triangle $EFG$ has base $FG = \dfrac{1}{3}AB$ and height equal to the rectangle's height, so its area is $\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.$

Because $EC \parallel AF,$ triangles $AFH$ and $CEH$ are similar with ratio $\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},$ so $\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.$ Likewise $\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.$

Then $\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}$ $= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}$ $= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}$ $= \dfrac{9}{35},$ giving $[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.$

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1870

解答：

其他年份的第 22 题