2001 AMC 12 第 22 题

Question

在矩形

ABCD

中，点

F

和

G

在

\overline{AB}

上，使得

AF = FG = GB

，而

E

是

\overline{DC}

的中点。另外，

\overline{AC}

与

\overline{EF}

交于

H

，与

\overline{EG}

交于

J

。矩形

ABCD

的面积为

70

。求三角形

EHJ

的面积。

In rectangle

ABCD,

points

F

and

G

lie on

\overline{AB}

so that

AF = FG = GB

and

E

is the midpoint of

\overline{DC}.

Also,

\overline{AC}

intersects

\overline{EF}

at

H

and

\overline{EG}

at

J.

The area of rectangle

ABCD

is

70.

Find the area of triangle

EHJ.

\dfrac{5}{2}

\dfrac{35}{12}

3

\dfrac{7}{2}

\dfrac{35}{8}

答案：C

知识点：相似面积比

难度评级：1870

小提示：

三角形

EFG

的底为

\dfrac{1}{3}AB

，高为矩形的全高，所以它的面积是矩形面积的

\dfrac{1}{6}

Triangle

EFG

has base

\dfrac{1}{3}AB

and the full height, so its area is

\dfrac{1}{6}

of the rectangle

大提示：

利用

EC \parallel AB

和相似三角形，得到

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}

且

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}

Use

EC \parallel AB

to get

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}

and

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}

from similar triangles

解答：

三角形

EFG

的底边

FG = \dfrac{1}{3}AB

，高等于矩形的高，所以它的面积是

\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}

。

因为

EC \parallel AF

，三角形

AFH

与

CEH

相似，比例为

\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2}

，所以

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}

。同理

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}

。

因此

\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}

= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}

= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}

= \dfrac{9}{35}

，得

[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3\text{。}

因此，正确答案是 C。

Triangle

EFG

has base

FG = \dfrac{1}{3}AB

and height equal to the rectangle’s height, so its area is

\dfrac{1}{6}(70) = \dfrac{35}{3}.

Because

EC \parallel AF,

triangles

AFH

and

CEH

are similar with ratio

\dfrac{EC}{AF} = \dfrac{3}{2},

so

\dfrac{EH}{EF} = \dfrac{3}{5}.

Likewise

\dfrac{EJ}{EG} = \dfrac{3}{7}.

Then

\dfrac{[EHJ]}{[EFG]}

= \dfrac{EH}{EF}\cdot\dfrac{EJ}{EG}

= \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7}

= \dfrac{9}{35},

giving

[EHJ] = \dfrac{9}{35}\cdot\dfrac{35}{3} = 3.

Thus, the correct answer is C.

2001 AMC 12 第 22 题

答案：C

难度评级：1870

小提示：

大提示：

解答：

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