2001 AMC 12 第 14 题

Question

给定正九边形

A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9

，在该多边形所在平面内，有多少个不同的等边三角形至少有两个顶点属于集合

\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}

？

Given the nine-sided regular polygon

A_1 A_2 A_3 A_4 A_5 A_6 A_7 A_8 A_9,

how many distinct equilateral triangles in the plane of the polygon have at least two vertices in the set

\{A_1, A_2, \ldots, A_9\}?

30

36

63

66

72

每一对顶点都恰好可以作为两个等边三角形的一条边

Each pair of vertices is a side of exactly two equilateral triangles

这样得到

2\binom{9}{2}

个计数，但三个全由给定顶点组成的三角形各被数了三次

This counts

2\binom{9}{2}

triangles, but the three all-vertex triangles get counted three times each

\binom{9}{2} = 36

对顶点中的每一对，都可以作为恰好两个等边三角形的一条边，因此按重数计共有

72

个三角形。

三角形

A_1 A_4 A_7

，

A_2 A_5 A_8

，和

A_3 A_6 A_9

的三个顶点都在该集合中，所以每个被数了三次而不是一次，每个多算了

2

次。

不同三角形的个数为

72 - 3 \cdot 2 = 66

。

因此，正确答案是 D。

Each of the

\binom{9}{2} = 36

pairs of vertices is a side of exactly two equilateral triangles, giving

72

triangles counted with multiplicity.

The triangles

A_1 A_4 A_7,

A_2 A_5 A_8,

and

A_3 A_6 A_9

have all three vertices in the set, so each is counted three times instead of once, an overcount of

2

apiece.

The number of distinct triangles is

72 - 3 \cdot 2 = 66.

Thus, the correct answer is D.

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