1999 AMC 12 第 25 题

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25.

存在唯一的整数

a_2

，

a_3

，

a_4

，

a_5

，

a_6

，

a_7

，使得

\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!} \end{aligned}\text{，}

其中对

i = 2

，

3

，

\ldots

，

7

有

0 \le a_i \lt i

。求

a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7

。

There are unique integers

a_2,

a_3,

a_4,

a_5,

a_6,

a_7

such that

\begin{aligned} &\frac{5}{7} = \frac{a_2}{2!} + \frac{a_3}{3!} + \frac{a_4}{4!} \\ &\quad {}+ \frac{a_5}{5!} + \frac{a_6}{6!} + \frac{a_7}{7!}, \end{aligned}

where

0 \le a_i \lt i

for

i = 2,

3,

\ldots,

7.

Find

a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7.

8

9

10

11

12

答案：B

知识点：进制阶乘模运算

难度评级：2030

小提示：

两边同乘

7!

Multiply both sides by

7!

大提示：

依次模

7

、模

6

、模

5, \ldots

，逐个取出数字。

Reduce modulo

7,

then

6,

then

5, \ldots

to peel off one digit at a time

解答：

两边乘以

7! = 5040

，得

\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7\text{。} \end{aligned}

模

7

得

a_7 = 2

。

再计算

\dfrac{3600 - 2}{7} = 514

= 360a_2 + 120a_3

+ 30a_4 + 6a_5

+ a_6

。模

6

得

a_6 = 4

，继续同样步骤得到

a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1

。

所求和为

1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9

。

所以正确答案是 B。

Multiplying by

7! = 5040

gives

\begin{aligned} &3600 = 2520a_2 + 840a_3 \\ &\quad {}+ 210a_4 + 42a_5 \\ &\quad {}+ 7a_6 + a_7. \end{aligned}

Reducing modulo

7,

a_7 = 2.

Then

\dfrac{3600 - 2}{7} = 514

= 360a_2 + 120a_3

+ 30a_4 + 6a_5

+ a_6.

Reducing modulo

6

gives

a_6 = 4,

and continuing this way yields

a_5 = 0, a_4 = 1, a_3 = 1, a_2 = 1.

The sum is

1 + 1 + 1 + 0 + 4 + 2 = 9.

Thus, the correct answer is B.

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