1993 AMC 12 第 25 题

Question

设

S

为构成一个

120^\circ

角两边的两条射线上的点集，

P

是该角内部、角平分线上的一个定点。考虑所有不同的等边三角形

PQR

，其中

Q

和

R

属于

S

。（点

Q

和

R

可以位于同一条射线上，交换

Q

与

R

的名称不产生不同的三角形。）这样的三角形有

Let

S

be the set of points on the rays forming the sides of a

120^\circ

angle, and let

P

be a fixed point inside the angle on the angle bisector. Consider all distinct equilateral triangles

PQR

with

Q

and

R

in

S.

(Points

Q

and

R

may be on the same ray, and switching the names of

Q

and

R

does not create a distinct triangle.) There are

恰好

2

个。

exactly

2

such triangles.

恰好

3

个。

exactly

3

such triangles.

恰好

7

个。

exactly

7

such triangles.

恰好

15

个。

exactly

15

such triangles.

多于

15

个。

more than

15

such triangles.

答案：E

知识点：equilateral triangles congruence infinite family

难度评级：2310

小提示：

将角的顶点记为

O

，并在一条射线上取点

A

，使

\triangle AOP

为等边三角形。

Call the angle’s vertex

O

and choose

A

on one ray so that

\triangle AOP

is equilateral

大提示：

让点

Q

在

\overline{AO}

上连续变化，并在另一条射线上构造相应的点

R

。

Vary a point

Q

continuously on

\overline{AO}

and construct a matching point

R

on the other ray

解答：

设

O

为角的顶点。在一条射线上取点

A

，使

OA=OP

；因为

OP

平分

120^\circ

角，所以

\triangle AOP

是等边三角形。对

\overline{AO}

上任意一点

Q

，在另一条射线上取点

R

，使

OR=AQ

。由边角边可得

\triangle POR\cong\triangle PAQ

。因此

PQ=PR

，且

\angle QPR=\angle APO=60^\circ

，所以

\triangle PQR

是等边三角形。连续变化的

Q

会给出不同的三角形，因此这样的三角形当然多于

15

个。故正确答案是 E。

Let

O

be the vertex. Choose

A

on one ray so that

OA=OP;

because

OP

bisects the

120^\circ

angle,

\triangle AOP

is equilateral. For any

Q

on

\overline{AO},

choose

R

on the other ray with

OR=AQ.

Then

\triangle POR\cong\triangle PAQ

by SAS. Consequently

PQ=PR

and

\angle QPR=\angle APO=60^\circ,

so

\triangle PQR

is equilateral. Continuously many choices of

Q

give distinct triangles, hence certainly more than

15.

Thus the correct answer is E.

1993 AMC 12 第 25 题

答案：E

难度评级：2310

小提示：

大提示：

解答：

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