1988 AMC 12 第 22 题

Question

共有多少个整数

x

，使得以

10

、

24

和

x

为边长的三角形的所有内角均为锐角？

For how many integers

x

does a triangle with side lengths

10,

24,

and

x

have all its angles acute?

4

5

6

7

多于

7

个

more than

7

答案：A

知识点：acute triangles Pythagorean inequalities integer counting

难度评级：1760

小提示：

针对最大边的每一种可能情况，应用严格的勾股不等式

Apply the strict Pythagorean inequality to the largest side in each possible ordering

大提示：

以

24

为对边的角和以

x

为对边的角给出关键的范围限制

The angle opposite

24

and the angle opposite

x

give the restrictive bounds

解答：

三角形为锐角三角形要求

x^2<10^2+24^2=676

且

24^2<10^2+x^2

，所以

x<26

且

x^2>476

。对于整数

x

，由此得到

22\le x\le25

。这四个值也都满足三角不等式，因此共有

4

个值。

因此，正确答案是 A。

Acuteness requires

x^2<10^2+24^2=676

and

24^2<10^2+x^2,

so

x<26

and

x^2>476.

For integer

x,

this gives

22\le x\le25.

All four values also satisfy the triangle inequality, so there are

4

values.

Thus the correct answer is A.

1988 AMC 12 第 22 题

答案：A

难度评级：1760

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 22 题