1987 AMC 12 第 14 题

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14.

ABCD

是正方形，

M

和

N

分别是

BC

和

CD

的中点。则

\sin\theta=

ABCD

is a square and

M

and

N

are the midpoints of

BC

and

CD,

respectively. Then

\sin\theta=

\frac{\sqrt5}{5}

\frac35

\frac{\sqrt{10}}5

\frac45

以上都不是

none of these

答案：B

知识点：vectors sine of angle midpoint geometry

难度评级：1530

小提示：

为正方形建立坐标，并写出向量

\overrightarrow{AM}

和

\overrightarrow{AN}

Assign coordinates to the square and write vectors

\overrightarrow{AM}

and

\overrightarrow{AN}

大提示：

利用行列式公式求两个向量夹角的正弦

Use the determinant formula for the sine of the angle between two vectors

解答：

设正方形边长为

2

，并取

A=(0,0),\ M=(1,2)

、

N=(2,1)

。则

\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35 \end{aligned}\text{。}

所以正确答案是 B。

Take the square to have side

2,

with

A=(0,0),\ M=(1,2),

and

N=(2,1).

Then

\begin{aligned} \sin\theta &=\frac{|\det((1,2),(2,1))|} {\sqrt5\sqrt5}\\ &=\frac{|1-4|}{5} =\frac35. \end{aligned}

Thus the correct answer is B.

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