Question

同时满足下列两个方程的不同实数对 $(x,y)$ 的个数 $\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy\text{。} \end{aligned}$ 为

The number of distinct pairs $(x,y)$ of real numbers satisfying both of the following equations: $\begin{aligned} x&=x^2+y^2,\\ y&=2xy. \end{aligned}$ is

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

答案：E

知识点：方程组分类讨论零积性质

难度评级：1590

小提示：

将第二个方程因式分解为 $y(1-2x)=0$

Factor the second equation as $y(1-2x)=0$

大提示：

分别讨论 $y=0$ 和 $x=\frac12$ 两种情况

Handle $y=0$ and $x=\frac12$ as separate cases

解答：

若 $y=0$ ，第一个方程给出 $x=x^2$ ，所以 $(x,y)=(0,0)$ 或 $(1,0)$ 。若 $y\ne0$ ，第二个方程给出 $x=\frac{1}{2}$ 。代入第一个方程得到 $y^2=\frac{1}{4}$ ，从而还有 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 和 $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$ 。共有四个数对。

因此，正确答案是 E。

If $y=0,$ the first equation gives $x=x^2,$ so $(x,y)=(0,0)$ or $(1,0).$ If $y\ne0,$ the second equation gives $x=\frac{1}{2}.$ The first then gives $y^2=\frac{1}{4},$ producing $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ and $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}).$ There are four pairs.

Therefore, the correct answer is E.

1978 AMC 12 第 6 题

答案：E

难度评级：1590

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题