Question

在直角位于 $C$ 的 $\triangle ABC$ 中，高 $CH$ 与中线 $CM$ 将该直角三等分。若 $\triangle CHM$ 的面积为 $K$ ，则 $\triangle ABC$ 的面积为

In $\triangle ABC$ with right angle at $C,$ altitude $CH$ and median $CM$ trisect the right angle. If the area of $\triangle CHM$ is $K,$ then the area of $\triangle ABC$ is

$6K$

$4\sqrt3K$

$3\sqrt3K$

$3K$

$4K$

答案：E

知识点：直角三角形中线（几何）全等（几何）面积比

难度评级：1870

小提示：

利用三等分角比较直角三角形 $CHM$ 与 $CHB$

Compare the right triangles $CHM$ and $CHB$ using the trisection angles

大提示：

确定 $M$ 与 $H$ 在 $AB$ 上的位置后，比较 $HM$ 与整条底边 $AB$

After locating $M$ and $H$ on $AB,$ compare $HM$ with the whole base $AB$

解答：

由于 $CH\perp AB$ ， $\triangle CHM$ 与 $\triangle CHB$ 都在 $H$ 处为直角。三等分使它们在 $C$ 处的锐角相等，并且两三角形共用边 $CH$ ，所以它们全等。因此 $HM=HB$ 。

因为 $M$ 是 $AB$ 的中点，所以 $AM=MB$ 。沿斜边各点的顺序为 $A,M,H,B$ ，并且 $MB=MH+HB=2MH$ 。因此 $AB=2MB=4MH\text{。}$ 三角形 $ABC$ 与 $CHM$ 的底边在同一直线上，并且从 $C$ 到这条直线的高相同，所以面积比为 $AB:HM=4:1$ 。因此 $\triangle ABC$ 的面积为 $4K$ 。

所以正确答案是 E。

Since $CH\perp AB,$ both $\triangle CHM$ and $\triangle CHB$ are right at $H.$ The trisection gives equal acute angles at $C,$ and the triangles share side $CH,$ so they are congruent. Hence $HM=HB.$

Because $M$ is the midpoint of $AB,$ $AM=MB.$ Along the hypotenuse the order is $A,M,H,B,$ and $MB=MH+HB=2MH.$ Thus $AB=2MB=4MH.$ Triangles $ABC$ and $CHM$ have bases on the same line and the same altitude from $C,$ so their areas are in the ratio $AB:HM=4:1.$ Therefore the area of $\triangle ABC$ is $4K.$

Therefore, the correct answer is E.

1973 AMC 12 第 9 题

答案：E

难度评级：1870

小提示：

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解答：

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