Question

Halle el residuo cuando se divide entre $1000.$ $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 9's}}$

Find the remainder when $9 \cdot 99 \cdot 999 \cdot \cdots \cdot \underbrace{99\ldots9}_{\text{999 9's}}$ is divided by $1000.$

Respuesta

Respuesta: 109

Conceptos:aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

Trabaje módulo $1000.$ Todo factor a partir del tercero termina en al menos tres $9$ , así que cada uno es $\equiv -1 \pmod{1000}.$ Hay $999$ factores en total, de modo que $997$ de ellos son $\equiv -1.$

Por lo tanto, el producto es así que el residuo es $109.$ $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$

Work modulo $1000.$ Every factor from the third one on ends in at least three $9$ s, so each is $\equiv -1 \pmod{1000}.$ There are $999$ factors in all, hence $997$ of them are $\equiv -1.$

The product is therefore $\begin{aligned} &\equiv 9 \cdot 99 \cdot (-1)^{997} \\ &\equiv -891 \equiv 109 \pmod{1000}, \end{aligned}$ so the remainder is $109.$

2010 AIME I Problema 2

Respuesta: 109

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

El Problema 2 en otros años