Question

Sea

\frac{m}{n},

en términos irreducibles, la probabilidad de que un divisor positivo de

10^{99}

, elegido al azar, sea un múltiplo entero de

10^{88}.

Halla

m+n.

Let

\frac{m}{n},

in lowest terms, be the probability that a randomly chosen positive divisor of

10^{99}

is an integer multiple of

10^{88}.

Find

m+n.

Respuesta

Respuesta: 634

Conceptos:conteo de factores probabilidad básica factorización en primos

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Escribe cada divisor como

2^a5^b

Write every divisor as

2^a5^b

Pista grande:

Cuenta los pares de exponentes con

a\geq88

y

b\geq88

, y reduce la probabilidad resultante

Count exponent pairs with

a\geq88

and

b\geq88

and reduce the resulting probability

Solución:

Todo divisor es

2^a5^b

con

0\leq a\leq99

y

0\leq b\leq99,

así que hay

100^2=10000

divisores. Un múltiplo de

10^{88}

requiere

88\leq a\leq99

y

88\leq b\leq99,

lo que da

12^2=144

divisores. La probabilidad es

\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},

y

m+n=9+625=634.

Every divisor is

2^a5^b

with

0\leq a\leq99

and

0\leq b\leq99,

so there are

100^2=10000

divisors. A multiple of

10^{88}

requires

88\leq a\leq99

and

88\leq b\leq99,

giving

12^2=144

divisors. The probability is

\frac{144}{10000}=\frac{9}{625},

and

m+n=9+625=634.

1988 AIME Problema 5

Respuesta: 634

Nivel de dificultad: 1770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años