Question

Se elige una sucesión de enteros

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

tal que

a_n=a_{n-1}-a_{n-2}

para cada

n\geq3.

¿Cuál es la suma de los primeros

2001

términos si la suma de los primeros

1492

términos es

1985,

y la suma de los primeros

1985

términos es

1492

?

A sequence of integers

a_1,

a_2,

a_3,

\ldots

is chosen so that

a_n=a_{n-1}-a_{n-2}

for each

n\geq3.

What is the sum of the first

2001

terms of this sequence if the sum of the first

1492

terms is

1985,

and the sum of the first

1985

terms is

1492?

Respuesta

Respuesta: 986

Conceptos:recursión reconocimiento de patrones sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Escribe los primeros seis términos en función de

a_1

y

a_2

Write the first six terms in terms of

a_1

and

a_2

Pista grande:

La sucesión se repite cada seis términos, y cada bloque de seis suma

0

The sequence repeats every six terms, and each six-term block has sum

0

Solución:

Sean

a_1=x

y

a_2=y.

Los primeros seis términos son

x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,

tras lo cual la sucesión se repite; estos seis términos suman

0.

Como

1492\equiv4\pmod6

y

1985\equiv5\pmod6,

las ecuaciones dadas son

\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}

Por tanto,

y=493.

Como

2001\equiv3\pmod6,

la suma pedida es

x+y+(y-x)=2y=986.

Put

a_1=x

and

a_2=y.

The first six terms are

x,\ y,\ y-x,\ -x,\ -y,\ x-y,

after which the sequence repeats; these six terms sum to

0.

Since

1492\equiv4\pmod6

and

1985\equiv5\pmod6,

the given equations are

\begin{aligned} 2y-x&=1985,\\ y-x&=1492. \end{aligned}

Thus

y=493.

Since

2001\equiv3\pmod6,

the requested sum is

x+y+(y-x)=2y=986.

1985 AIME Problema 5

Respuesta: 986

Nivel de dificultad: 2110

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 5 en otros años