2025 AMC 12B 第 6 题

Question

Emmy 对 Max 说：“我今天订了

36

件数学俱乐部卫衣。”Max 问：“每件多少钱？”Emmy 回答：“给你一个提示：总价是

\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A}

，其中

A

和

B

是数字，且

A \neq 0

。”停顿片刻后，Max 说：“这价格真不错。”求

A + B

。

Emmy says to Max, “I ordered

36

math club sweatshirts today.” Max asks, “How much did each shirt cost?” Emmy responds, “I’ll give you a hint. The total cost was

\$\underline{A}\,\underline{B}\,\underline{B}.\underline{B}\,\underline{A},

where

A

and

B

are digits and

A \neq 0.

” After a pause, Max says, “That was a good price.” What is

A + B?

7

8

11

14

15

答案：C

知识点：位值整除性模运算

难度评级：1390

小提示：

以美分计，总价为

10001A + 1110B

且必须能被

36

整除。

In cents the total is

10001A + 1110B,

and it must be divisible by

36

大提示：

对

36

取模得

7A + 6B \equiv 0

，再检查满足

A \neq 0

的数字解。

Reduce modulo

36

to get

7A + 6B \equiv 0,

then test digits with

A \neq 0

解答：

以美分为单位，总额为

10000A + 1110B + A

= 10001A + 1110B

，它必须是

36

的倍数。因为

10001 \equiv 29

且

1110 \equiv 30 \pmod{36}

，条件为

29A + 30B \equiv 0

，即

7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}

。再对

6

取模，得到

A\equiv0\pmod6

，所以唯一可能的非零数字是

A=6

。此时

42+6B

只有当数字

B=5

时才能被

36

整除。确实，

\$655.56 = 36 \times \$18.21

，所以

A+B=11

。

因此，正确答案是 C。

The total in cents is

10000A + 1110B + A

= 10001A + 1110B,

which must be a multiple of

36.

Since

10001 \equiv 29

and

1110 \equiv 30 \pmod{36},

the condition is

29A + 30B \equiv 0,

i.e.

7A + 6B \equiv 0 \pmod{36}.

Reducing once more modulo

6

gives

A\equiv0\pmod6,

so the only possible nonzero digit is

A=6.

Then

42+6B

is divisible by

36

only for the digit

B=5.

Indeed

\$655.56 = 36 \times \$18.21,

so

A+B=11.

Thus, the correct answer is C.

2025 AMC 12B 第 6 题

答案：C

难度评级：1390

小提示：

大提示：

解答：

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