2025 AMC 12A 第 22 题

Question

从

0

到

1

之间独立均匀随机地选出三个实数。这三个数中最大的那个数大于另外两个数各自的

2

倍的概率是多少？（换句话说，如果所选的数为

a \ge b \ge c

，则

a \gt 2b

。）

Three real numbers are chosen independently and uniformly at random between

0

and

1.

What is the probability that the greatest of these three numbers is greater than

2

times each of the other two numbers? (In other words, if the chosen numbers are

a \ge b \ge c,

then

a \gt 2b.

)

\dfrac{1}{12}

\dfrac{1}{9}

\dfrac{1}{8}

\dfrac{1}{6}

\dfrac{1}{4}

答案：E

知识点：几何概率微积分

难度评级：2270

小提示：

对顺序统计量

x_1 \ge x_2 \ge x_3

，在区域

x_1 \gt x_2 \gt x_3

上联合密度为

6

。

With order statistics

x_1 \ge x_2 \ge x_3,

the joint density is

6

on the region

x_1 \gt x_2 \gt x_3

大提示：

在

x_3 \in (0, x_2)

，

x_1 \in (2x_2, 1)

，和

x_2 \in (0, \tfrac{1}{2})

上积分

Integrate over

x_3 \in (0, x_2),

x_1 \in (2x_2, 1),

and

x_2 \in (0, \tfrac{1}{2})

解答：

将数按大小排列为

x_1 \gt x_2 \gt x_3

；顺序统计量在这个区域上的联合密度为

6

。所求事件为

x_1 \gt 2x_2

。

对

x_3

从

0

到

x_2

积分，会贡献因子

x_2

。于是

\begin{aligned} P &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2\int_{2x_2}^{1} dx_1\, dx_2 \\ &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2(1 - 2x_2)\, dx_2 \end{aligned}\text{。}

这等于

6\left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12}\right) = 6 \cdot \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{4}

。

因此，正确答案是 E。

Order the values as

x_1 \gt x_2 \gt x_3

; the joint density of the order statistics is

6

on this region. The event is

x_1 \gt 2x_2.

Integrating

x_3

from

0

to

x_2

contributes a factor of

x_2.

Then

\begin{aligned} P &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2\int_{2x_2}^{1} dx_1\, dx_2 \\ &= 6\int_0^{\frac{1}{2}} x_2(1 - 2x_2)\, dx_2. \end{aligned}

This equals

6\left(\dfrac{1}{8} - \dfrac{1}{12}\right) = 6 \cdot \dfrac{1}{24} = \dfrac{1}{4}.

Thus, the correct answer is E.

2025 AMC 12A 第 22 题

答案：E

难度评级：2270

小提示：

大提示：

解答：

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