Question

一个飞镖靶是坐标平面中的区域 $B$ ，由满足 $|x| + |y| \le 8$ 的点 $(x, y)$ 组成。目标区域 $T$ 由满足 $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ 的点组成。飞镖随机落在 $B$ 中一点。飞镖落在 $T$ 中的概率可表示为 $\dfrac{m}{n} \cdot \pi$ ，其中 $m$ 和 $n$ 是互质正整数。求 $m + n$ 。

A dartboard is the region $B$ in the coordinate plane consisting of points $(x, y)$ such that $|x| + |y| \le 8.$ A target $T$ is the region where $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49.$ A dart is thrown and lands at a random point in $B.$ The probability that the dart lands in $T$ can be expressed as $\dfrac{m}{n} \cdot \pi,$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m + n?$

$39$

$71$

$73$

$75$

$135$

答案：B

知识点：几何概率圆环

难度评级：1540

解答：

飞镖靶 $|x| + |y| \le 8$ 是一个对角线长为 $16$ 的正方形，面积为 $\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128$ 。目标条件 $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ 等价于 $-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7$ ，即 $18 \le x^2 + y^2 \le 32$ ，这是一个面积为 $\pi(32 - 18) = 14\pi$ 的圆环。

原点到正方形一条边（如 $x + y = 8$ ）的距离为 $\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32}$ ，正好等于环形区域外半径，所以整个环形区域都在 $B$ 内。概率为 $\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi$ ，因此 $m + n = 7 + 64 = 71$ 。

所以正确答案是 B。

The dartboard $|x| + |y| \le 8$ is a square with diagonals $16,$ so its area is $\tfrac12 \cdot 16 \cdot 16 = 128.$ The target condition $(x^2 + y^2 - 25)^2 \le 49$ means $-7 \le x^2 + y^2 - 25 \le 7,$ i.e. $18 \le x^2 + y^2 \le 32,$ an annulus of area $\pi(32 - 18) = 14\pi.$

The distance from the origin to a side of the square (for instance $x + y = 8$ ) is $\dfrac{8}{\sqrt2} = \sqrt{32},$ exactly the annulus's outer radius. So the annulus is tangent to the square and lies entirely within $B.$ The probability is $\dfrac{14\pi}{128} = \dfrac{7}{64}\pi,$ giving $m + n = 7 + 64 = 71.$

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 9 题

答案：B

难度评级：1540

解答：

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