2024 AMC 12B 第 6 题

Question

美国国债预计到

2033

年将达到

5 \cdot 10^{13}

美元。这个美元数用

5

进制数字写出时有多少位？（本题中取

\log_{10} 5

近似为

0.7

已足够。）

The national debt of the United States is on track to reach

5 \cdot 10^{13}

dollars by

2033.

How many digits does this number of dollars have when written as a numeral in base

5?

(The approximation of

\log_{10} 5

as

0.7

is sufficient for this problem.)

18

20

22

24

26

答案：B

知识点：对数进制

难度评级：1370

小提示：

N

的

5

进制位数是

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1

。

The number of base-

5

digits of

N

is

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1

大提示：

使用

\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}

，其中

\log_{10} 5 = 0.7

，且

\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5

。

Use

\log_5 N = \dfrac{\log_{10} N}{\log_{10} 5}

with

\log_{10} 5 = 0.7

and

\log_{10}(5\cdot 10^{13}) = 13 + \log_{10} 5

解答：

N

的

5

进制位数是

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1

。对于

N = 5 \cdot 10^{13}

，有

\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7\text{。}

换底可得

\log_5 N

= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}

= \dfrac{13.7}{0.7}

= 19.57\ldots

。

因此位数为

\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20

。

所以正确答案是 B。

The number of digits of

N

in base

5

is

\lfloor \log_5 N \rfloor + 1.

With

N = 5 \cdot 10^{13},

\log_{10} N = 13 + \log_{10} 5 = 13.7.

Converting bases,

\log_5 N

= \dfrac{13.7}{\log_{10} 5}

= \dfrac{13.7}{0.7}

= 19.57\ldots

Thus the number of digits is

\lfloor 19.57 \rfloor + 1 = 19 + 1 = 20.

Thus, the correct answer is B.

2024 AMC 12B 第 6 题

答案：B

难度评级：1370

小提示：

大提示：

解答：

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