2024 AMC 12A 第 9 题

Question

设

M

是最大的整数，使得

M+1213

和

M+3773

都是完全平方数。

M

的个位数字是多少？

Let

M

be the greatest integer such that both

M+1213

and

M+3773

are perfect squares. What is the units digit of

M?

1

2

3

6

8

答案：E

知识点：平方差完全平方数最优化

难度评级：1510

小提示：

设

M+1213=a^2

，

M+3773=b^2

；相减得到

b^2-a^2=2560

。

Let

M+1213=a^2

and

M+3773=b^2;

subtract to get

b^2-a^2=2560

大提示：

(b-a)(b+a)=2560

，两个因数都为偶数；要使

M

最大，就让

b-a

尽可能小

(b-a)(b+a)=2560

with both factors even; to maximize

M,

make

b-a

as small as possible

解答：

写成

M+1213=a^2

、

M+3773=b^2

，则

b^2-a^2=2560

，即

(b-a)(b+a)=2560

。两个因数同奇偶，所以都为偶数。要最大化

a

（也就是最大化

M

），应最小化

b-a

：取

b-a=2,\ b+a=1280

，得

a=639

。于是

M=639^2-1213

=408321-1213

=407108

，个位数字为

8

。因此正确答案是 E。

Write

M+1213=a^2

and

M+3773=b^2,

so

b^2-a^2=2560,

i.e.

(b-a)(b+a)=2560.

Both factors have the same parity, hence both even. To maximize

a

(and thus

M

), minimize

b-a:

take

b-a=2,\ b+a=1280,

so

a=639.

Then

M=639^2-1213

=408321-1213

=407108,

whose units digit is

8.

Thus, the correct answer is E.

2024 AMC 12A 第 9 题

答案：E

难度评级：1510

小提示：

大提示：

解答：

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