2023 AMC 12B 第 8 题

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8.

集合

\{0,1,2,3,\ldots,12\}

有多少个非空子集

B

，满足

B

中元素个数等于

B

的最小元素？例如，

B=\{4,6,8,11\}

满足这个条件。

How many nonempty subsets

B

of

\{0,1,2,3,\ldots,12\}

have the property that the number of elements in

B

is equal to the least element of

B?

For example,

B=\{4,6,8,11\}

satisfies the condition.

256

136

108

144

156

答案：D

知识点：组合分类讨论

难度评级：1570

小提示：

如果最小元素是

m

，那么

B

正好有

m

个元素，且所有元素都至少为

m

。

If the least element is

m,

then

B

has exactly

m

elements, all at least

m

大提示：

从大于

m

的

12-m

个整数中选择另外

m-1

个元素；这给出

\binom{12-m}{m-1}

Choose the other

m-1

elements from the

12-m

integers greater than

m:

this gives

\binom{12-m}{m-1}

解答：

如果最小元素为

m\ (m\ge 1)

，则

|B|=m

，其余

m-1

个元素来自

\{m+1,\ldots,12\}

，这个集合大小为

12-m

。总数为

\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}\text{，} \end{aligned}

等于

1+10+36+56+35+6

=144

。

因此，正确答案是 D。

If the least element is

m\ (m\ge 1),

then

|B|=m

and the remaining

m-1

elements come from

\{m+1,\ldots,12\},

a set of size

12-m.

The count is

\begin{aligned} \sum_{m\ge 1}\binom{12-m}{m-1} &=\binom{11}{0} \\ &\quad {}+\binom{10}{1} \\ &\quad {}+\binom{9}{2} \\ &\quad {}+\binom{8}{3} \\ &\quad {}+\binom{7}{4} \\ &\quad {}+\binom{6}{5}, \end{aligned}

which equals

1+10+36+56+35+6

=144.

Thus, the correct answer is D.

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