2023 AMC 12B 第 6 题

Question

当多项式

\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}

的根从数轴上移除后，剩下的是

11

个互不相交的开区间的并。在其中多少个区间上

P(x)

为正？

When the roots of the polynomial

\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}

are removed from the number line, what remains is the union of

11

disjoint open intervals. On how many of these intervals is

P(x)

positive?

3

7

6

4

5

答案：C

知识点：多项式奇偶性

难度评级：1380

小提示：

P(x)

的符号只会在指数为奇数的根处改变

The sign of

P(x)

flips at a root only when that root’s exponent is odd

大提示：

当

x\gt 10

时函数值为正；向左移动时，只在奇数根

1,3,5,7,9

处翻转符号

For

x\gt 10

the value is positive; move left, flipping sign only at the odd roots

1,3,5,7,9

解答：

因子

(x-k)

的指数是

k

，所以

P

的符号只在

x=k

且

k

为奇数时改变，也就是在

1,3,5,7,9

处改变。当

x\gt 10

时每个因子都为正，所以

P\gt 0

。向左扫描并在每个奇数根处翻转符号，正区间为

(10,\infty)

、

(9,10)

、

(6,7)

、

(5,6)

、

(2,3)

和

(1,2)

，共六个区间。

因此，正确答案是 C。

The exponent of the factor

(x-k)

is

k,

so the sign of

P

changes at

x=k

only when

k

is odd, i.e. at

1,3,5,7,9.

For

x\gt 10

every factor is positive, so

P\gt 0.

Sweeping left and flipping at each odd root, the positive intervals are

(10,\infty),

(9,10),

(6,7),

(5,6),

(2,3),

and

(1,2)

— six intervals in all.

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12B 第 6 题

答案：C

难度评级：1380

小提示：

大提示：

解答：

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