Question

当多项式

$\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}$

的根从数轴上移除后，剩下的是 $11$ 个互不相交的开区间的并。在其中多少个区间上 $P(x)$ 为正？

When the roots of the polynomial

$\begin{gathered} P(x)=(x-1)^1(x-2)^2 \\ {}\cdot (x-3)^3\cdots \\ {}\cdot (x-10)^{10} \end{gathered}$

are removed from the number line, what remains is the union of $11$ disjoint open intervals. On how many of these intervals is $P(x)$ positive?

$3$

$7$

$6$

$4$

$5$

答案：C

知识点：多项式奇偶性

难度评级：1380

解答：

因子 $(x-k)$ 的指数是 $k$ ，所以 $P$ 的符号只在 $x=k$ 且 $k$ 为奇数时改变，也就是在 $1,3,5,7,9$ 处改变。当 $x\gt 10$ 时每个因子都为正，所以 $P\gt 0$ 。向左扫描并在每个奇数根处翻转符号，正区间为 $(10,\infty)$ 、 $(9,10)$ 、 $(6,7)$ 、 $(5,6)$ 、 $(2,3)$ 和 $(1,2)$ ，共六个区间。

因此，正确答案是 C。

The exponent of the factor $(x-k)$ is $k,$ so the sign of $P$ changes at $x=k$ only when $k$ is odd, i.e. at $1,3,5,7,9.$ For $x\gt 10$ every factor is positive, so $P\gt 0.$ Sweeping left and flipping at each odd root, the positive intervals are $(10,\infty),$ $(9,10),$ $(6,7),$ $(5,6),$ $(2,3),$ and $(1,2)$ — six intervals in all.

Thus, the correct answer is C.

2023 AMC 12B 第 6 题

答案：C

难度评级：1380

解答：

其他年份的第 6 题