2023 AMC 12A 第 14 题

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14.

有多少个复数满足方程

z^5=\overline{z}

，其中

\overline{z}

是复数

z

的共轭？

How many complex numbers satisfy the equation

z^5=\overline{z},

where

\overline{z}

is the conjugate of the complex number

z?

2

3

5

6

7

答案：E

知识点：复数单位根

难度评级：1730

小提示：

取模长：

|z|^5=|z|

，所以

|z|=0

或

|z|=1

。

Take absolute values:

|z|^5=|z|,

so

|z|=0

or

|z|=1

大提示：

乘以

z

得

z^6=z\overline{z}=|z|^2

；单独处理

z=0

。

Multiplying by

z

gives

z^6=z\overline{z}=|z|^2;

handle

z=0

separately

解答：

取模长得

|z|^5=|z|

，所以

|z|=0

或

|z|=1

。

z=0

满足方程，给出一个解。

若

|z|=1

，把原方程乘以

z

得到

z^6=z\overline{z}=|z|^2=1

。这有

6

个不同的根，并且这些根的模长都等于

1

。

总共有

1+6=7

个解。

所以正确答案是 E。

Taking magnitudes gives

|z|^5=|z|,

so

|z|=0

or

|z|=1.

The value

z=0

works, giving one solution.

If

|z|=1,

multiply the equation by

z

to get

z^6=z\overline{z}=|z|^2=1.

This has

6

distinct roots, all of modulus

1.

Altogether there are

1+6=7

solutions.

Thus, the correct answer is E.

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