2022 AMC 12B 第 9 题

Question

数列

a_0

，

a_1

，

a_2

，

\cdots

是正整数的严格递增等差数列，且

2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7\text{。}

求

a_2

的最小可能值。

The sequence

a_0,

a_1,

a_2,

\cdots

is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that

2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.

What is the minimum possible value of

a_2?

8

12

16

17

22

答案：B

知识点：等差数列指数最优化

难度评级：1530

小提示：

两边除以

2^{27}

得到

2^{a_7 - 27} = a_7

。

Divide both sides by

2^{27}

to get

2^{a_7 - 27} = a_7

大提示：

求出

a_7

后，写成

a_2 = a_7 - 5d

，并让公差

d

尽可能大。

After finding

a_7,

write

a_2 = a_7 - 5d

and make the common difference

d

as large as possible

解答：

两边除以

2^{27}

，得

2^{a_7 - 27} = a_7

。因此

a_7=2^j

，并且

2^j-j=27

，其中

j=a_7-27\ge0

。当

j\ge1

时，左边严格递增，而

j=5

满足方程，所以唯一解是

a_7=32

。

设公差

d \ge 1

，则

a_7 = a_0 + 7d = 32

，并且

a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d

。要使

a_2

最小，就要使

d

尽可能大。因为

a_0 = 32 - 7d \ge 1

，最大选择为

d = 4

（此时

a_0 = 4

）。

于是

a_2 = 32 - 20 = 12

。

因此，正确答案是 B。

Dividing by

2^{27},

we need

2^{a_7 - 27} = a_7.

Thus

a_7=2^j

and

2^j-j=27,

where

j=a_7-27\ge0.

The left side is strictly increasing for

j\ge1,

and

j=5

works, so uniquely

a_7=32.

With common difference

d \ge 1,

we have

a_7 = a_0 + 7d = 32

and

a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.

To minimize

a_2

we maximize

d;

since

a_0 = 32 - 7d \ge 1,

the largest choice is

d = 4

(giving

a_0 = 4

).

Then

a_2 = 32 - 20 = 12.

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B 第 9 题

答案：B

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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