Question

数列 $a_0, a_1, a_2, \cdots$ 是正整数的严格递增等差数列，且求 $a_2$ 的最小可能值。 $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$

The sequence $a_0, a_1, a_2, \cdots$ is a strictly increasing arithmetic sequence of positive integers such that $2^{a_7} = 2^{27} \cdot a_7.$ What is the minimum possible value of $a_2?$

$8$

$12$

$16$

$17$

$22$

答案：B

知识点：等差数列指数最优化

难度评级：1530

解答：

两边除以 $2^{27},$ 得 $2^{a_7 - 27} = a_7.$ 因此 $a_7=2^j$ ，并且 $2^j-j=27,$ 其中 $j=a_7-27\ge0.$ 当 $j\ge1,$ 时，左边严格递增，而 $j=5$ 满足方程，所以唯一解是 $a_7=32.$

设公差 $d \ge 1,$ 则 $a_7 = a_0 + 7d = 32$ ，并且 $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ 要使 $a_2$ 最小，就要使 $d;$ 最大。因为 $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ 最大选择为 $d = 4$ （此时 $a_0 = 4$ ）。

于是 $a_2 = 32 - 20 = 12.$

因此，正确答案是 B。

Dividing by $2^{27},$ we need $2^{a_7 - 27} = a_7.$ Thus $a_7=2^j$ and $2^j-j=27,$ where $j=a_7-27\ge0.$ The left side is strictly increasing for $j\ge1,$ and $j=5$ works, so uniquely $a_7=32.$

With common difference $d \ge 1,$ we have $a_7 = a_0 + 7d = 32$ and $a_2 = a_0 + 2d = 32 - 5d.$ To minimize $a_2$ we maximize $d;$ since $a_0 = 32 - 7d \ge 1,$ the largest choice is $d = 4$ (giving $a_0 = 4$ ).

Then $a_2 = 32 - 20 = 12.$

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B 第 9 题

答案：B

难度评级：1530

解答：

其他年份的第 9 题