2022 AMC 12B 第 6 题

Question

考虑下列

100

个集合，每个集合有

10

个元素：

\{1,2,3,\ldots,10\}\text{，}

\{11,12,13,\ldots,20\}\text{，}

\{21,22,23,\ldots,30\}\text{，}

\vdots

\{991,992,993,\ldots,1000\}\text{。}

其中有多少个集合恰好含有两个

7

的倍数？

Consider the following

100

sets of

10

elements each:

\{1,2,3,\ldots,10\},

\{11,12,13,\ldots,20\},

\{21,22,23,\ldots,30\},

\vdots

\{991,992,993,\ldots,1000\}.

How many of these sets contain exactly two multiples of

7?

40

42

43

49

50

答案：B

知识点：倍数区间内整数计数

难度评级：1350

小提示：

一个含

10

个连续整数的区间含有一个或两个

7

的倍数。

A block of

10

consecutive integers contains either one or two multiples of

7

大提示：

先数

\{1,\ldots,1000\}

中

7

的倍数总数，再设有

x

个区间含两个、

100-x

个区间含一个。

Count the total multiples of

7

in

\{1,\ldots,1000\},

then let

x

blocks have two and

100-x

have one

解答：

从

1

到

1000

中有

\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142

个

7

的倍数。由于

10 \gt 7

，每个长度为

10

的连续整数区间含有一个或两个

7

的倍数。

设有

x

个区间含两个倍数，其余

100 - x

个区间各含一个，则

2x + (100 - x) = 142

，所以

x = 42

。

所以正确答案是 B。

Among

1

to

1000

there are

\left\lfloor \tfrac{1000}{7} \right\rfloor = 142

multiples of

7.

Because

10 \gt 7,

each block of

10

consecutive integers contains one or two multiples of

7.

If

x

blocks contain two and the remaining

100 - x

contain one, then

2x + (100 - x) = 142,

so

x = 42.

Thus, the correct answer is B.

2022 AMC 12B 第 6 题

答案：B

难度评级：1350

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 6 题