2022 AMC 12B 第 10 题

Question

正六边形

ABCDEF

的边长为

2

。设

G

为

\overline{AB}

的中点，

H

为

\overline{DE}

的中点。四边形

GCHF

的周长是多少？

Regular hexagon

ABCDEF

has side length

2.

Let

G

be the midpoint of

\overline{AB},

and let

H

be the midpoint of

\overline{DE}.

What is the perimeter of

GCHF?

4\sqrt3

8

4\sqrt5

4\sqrt7

12

答案：D

知识点：正多边形距离公式坐标几何

难度评级：1500

小提示：

将正六边形放在坐标系中，并把中心设为原点。

Place the hexagon on coordinates with its center at the origin

大提示：

由对称性，

GCHF

的四条边相等；用距离公式算一条边。

By symmetry all four sides of

GCHF

are equal; compute one distance with the distance formula

解答：

将中心置于原点，取

A = (-1, \sqrt3)

，

B = (1, \sqrt3)

，

C = (2, 0)

，

D = (1, -\sqrt3)

，

E = (-1, -\sqrt3)

，

F = (-2, 0)

。

则

G = (0, \sqrt3)

，

H = (0, -\sqrt3)

。由对称性，四边形

GCHF

的四条边相等，并且

GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7\text{。}

所以周长为

4\sqrt7

。

所以正确答案是 D。

Place the hexagon with center at the origin:

A = (-1, \sqrt3),

B = (1, \sqrt3),

C = (2, 0),

D = (1, -\sqrt3),

E = (-1, -\sqrt3),

F = (-2, 0).

Then

G = (0, \sqrt3)

and

H = (0, -\sqrt3).

By symmetry all four sides of

GCHF

are equal, and

GC = \sqrt{2^2 + (\sqrt3)^2} = \sqrt7.

The perimeter is

4\sqrt7.

Thus, the correct answer is D.

2022 AMC 12B 第 10 题

答案：D

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 10 题