2021 AMC 12B Fall 第 14 题

Question

设

P(z)

、

Q(z)

、

R(z)

是实系数多项式，次数分别为

2

、

3

、

6

，常数项分别为

1

、

2

、

3

。令

N

为满足方程

P(z) \cdot Q(z) = R(z)

的不同复数

z

的个数。

N

的最小可能值是多少？

Suppose that

P(z),

Q(z),

and

R(z)

are polynomials with real coefficients, having degrees

2,

3,

and

6,

respectively, and constant terms

1,

2,

and

3,

respectively. Let

N

be the number of distinct complex numbers

z

that satisfy the equation

P(z) \cdot Q(z) = R(z).

What is the minimum possible value of

N?

0

1

2

3

5

答案：B

知识点：多项式极端原理

难度评级：1850

小提示：

考虑

D(z) = P(z)Q(z) - R(z)

；它的次数和常数项是什么？

Consider

D(z) = P(z)Q(z) - R(z)

; what is its degree and constant term?

大提示：

一个次数为

6

的多项式可以只有一个重数为

6

的根。

A degree-

6

polynomial can have a single root of multiplicity

6

解答：

令

D(z) = P(z)Q(z) - R(z)

。因为

P Q

的次数为

5

，而

R

的次数为

6

，所以

D

的次数为

6

。它的常数项为

1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0

。

由于

R

除这些限制外没有其他限制，

D

可以成为任意次数为

6

、常数项为

-1

的实系数多项式，例如

-(z - 1)^6

。

这样的多项式只有一个不同的根，所以最小值为

N = 1

。

所以正确答案是 B。

Let

D(z) = P(z)Q(z) - R(z).

Since

P Q

has degree

5

and

R

has degree

6,

the degree of

D

is

6.

Its constant term is

1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.

Because

R

is otherwise unconstrained,

D

can be made equal to any real degree-

6

polynomial with constant term

-1,

for instance

-(z - 1)^6.

Such a polynomial has a single distinct root, so the minimum is

N = 1.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall 第 14 题

答案：B

难度评级：1850

小提示：

大提示：

解答：

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