Question

设 $P(z)$ 、 $Q(z)$ 、 $R(z)$ 是实系数多项式，次数分别为 $2$ 、 $3$ 、 $6$ ，常数项分别为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 。令 $N$ 为满足方程的不同复数 $z$ 的个数。 $N$ 的最小可能值是多少？ $P(z) \cdot Q(z) = R(z).$

Suppose that $P(z),$ $Q(z),$ and $R(z)$ are polynomials with real coefficients, having degrees $2,$ $3,$ and $6,$ respectively, and constant terms $1,$ $2,$ and $3,$ respectively. Let $N$ be the number of distinct complex numbers $z$ that satisfy the equation $P(z) \cdot Q(z) = R(z).$ What is the minimum possible value of $N?$

$0$

$1$

$2$

$3$

$5$

答案：B

知识点：多项式极端原理

难度评级：1850

解答：

令 $D(z) = P(z)Q(z) - R(z)$ 。因为 $P Q$ 的次数为 $5$ ，而 $R$ 的次数为 $6$ ，所以 $D$ 的次数为 $6$ 。它的常数项为 $1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0$ 。

由于 $R$ 除这些限制外没有其他限制， $D$ 可以成为任意次数为 $6$ 、常数项为 $-1$ 的实系数多项式，例如 $-(z - 1)^6$ 。

这样的多项式只有一个不同的根，所以最小值为 $N = 1$ 。

所以正确答案是 B。

Let $D(z) = P(z)Q(z) - R(z).$ Since $P Q$ has degree $5$ and $R$ has degree $6,$ the degree of $D$ is $6.$ Its constant term is $1 \cdot 2 - 3 = -1 \neq 0.$

Because $R$ is otherwise unconstrained, $D$ can be made equal to any real degree- $6$ polynomial with constant term $-1,$ for instance $-(z - 1)^6.$

Such a polynomial has a single distinct root, so the minimum is $N = 1.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Fall 第 14 题

答案：B

难度评级：1850

解答：

其他年份的第 14 题