2021 AMC 12A Fall 第 14 题

Question

如图，等边六边形

ABCDEF

有三个互不相邻的锐内角，每个都是

30^\circ

。该六边形围成的面积为

6\sqrt{3}

。这个六边形的周长是多少？

In the figure, equilateral hexagon

ABCDEF

has three nonadjacent acute interior angles that each measure

30^\circ.

The enclosed area of the hexagon is

6\sqrt{3}.

What is the perimeter of the hexagon?

4

4\sqrt{3}

12

18

12\sqrt{3}

答案：E

知识点：面积分割三角学

难度评级：1730

小提示：

设边长为

s

。三个

30^\circ

尖端是腰长为

s

的等腰三角形；它们位于三个凹角顶点形成的内三角形的边上

Let the side be

s.

The three

30^\circ

tips are isosceles triangles with legs

s;

they sit on the sides of the inner triangle formed by the three reflex vertices

大提示：

每个尖端面积为

\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ

，内侧等边三角形边长为

2s\sin 15^\circ

。

Each tip has area

\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ,

and the inner equilateral triangle has side

2s\sin 15^\circ

解答：

设公共边长为

s

。三个锐角顶点是三个等腰三角形的尖端，这些三角形的两边为

s

，顶角为

30^\circ

；每个面积为

\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}

。

三个凹角顶点形成一个内侧等边三角形，边长为

2s\sin 15^\circ

，面积为

\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ

。利用

\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4}

，总面积为

\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}\text{。}

令

\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3

，得

s^2 = 12

，所以

s = 2\sqrt3

，周长为

6s = 12\sqrt3

。

所以正确答案是 E。

Let the common side length be

s.

The three acute vertices are the tips of isosceles triangles with two sides

s

and apex

30^\circ;

each has area

\tfrac12 s^2 \sin 30^\circ = \tfrac{s^2}{4}.

The three reflex vertices form an inner equilateral triangle with side

2s\sin 15^\circ,

whose area is

\sqrt3\,s^2\sin^2 15^\circ.

Using

\sin^2 15^\circ = \tfrac{2 - \sqrt3}{4},

the total area is

\frac{3s^2}{4} + \sqrt3\,s^2\cdot\frac{2 - \sqrt3}{4} = \frac{s^2\sqrt3}{2}.

Setting

\tfrac{s^2\sqrt3}{2} = 6\sqrt3

gives

s^2 = 12,

so

s = 2\sqrt3

and the perimeter is

6s = 12\sqrt3.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12A Fall 第 14 题

答案：E

难度评级：1730

小提示：

大提示：

解答：

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