2021 AMC 12B Spring 第 8 题

Question

三条等间距平行线与一个圆相交，形成三条长度分别为

38

，

38

，和

34

的弦。相邻两条平行线之间的距离是多少？

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths

38,

38,

and

34.

What is the distance between two adjacent parallel lines?

5\tfrac{1}{2}

6

6\tfrac{1}{2}

7

7\tfrac{1}{2}

答案：B

知识点：弦勾股定理

难度评级：1500

小提示：

等弦到圆心的距离相等，所以两条

38

的弦位于高度

\pm\tfrac{d}{2}

。

Equal chords are equidistant from the center, so the two

38

chords sit at heights

\pm\tfrac{d}{2}

大提示：

设间距为

d

，使用

r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2

和

r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2

With spacing

d,

use

r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2

and

r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2

解答：

把圆心放在高度

0

。两条等弦到圆心距离相等，所以三条等间距直线可放在高度

-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2}

，其中两条

38

的弦在

\pm\tfrac{d}{2}

，

34

的弦在

\tfrac{3d}{2}

。

半弦关系给出

r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2

和

r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2

。

相减得

2d^2=19^2-17^2=72

，所以

d^2=36

，

d=6

。

所以正确答案是 B。

Place the center at height

0.

Two equal chords lie at equal distances from the center, so the three equally spaced lines are at heights

-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2},

with the two

38

-chords at

\pm\tfrac{d}{2}

and the

34

-chord at

\tfrac{3d}{2}.

Half-chord relations give

r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2

and

r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.

Subtracting,

2d^2=19^2-17^2=72,

so

d^2=36

and

d=6.

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring 第 8 题

答案：B

难度评级：1500

小提示：

大提示：

解答：

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