Question

三条等间距平行线与一个圆相交，形成三条长度分别为 $38, 38$ ，和 $34$ 的弦。相邻两条平行线之间的距离是多少？

Three equally spaced parallel lines intersect a circle, creating three chords of lengths $38, 38,$ and $34.$ What is the distance between two adjacent parallel lines?

$5\tfrac{1}{2}$

$6$

$6\tfrac{1}{2}$

$7$

$7\tfrac{1}{2}$

答案：B

知识点：弦勾股定理

难度评级：1500

解答：

把圆心放在高度 $0$ 。两条等弦到圆心距离相等，所以三条等间距直线可放在高度 $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2}$ ，其中两条 $38$ 的弦在 $\pm\tfrac{d}{2}$ ， $34$ 的弦在 $\tfrac{3d}{2}$ 。

半弦关系给出 $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ 和 $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2$ 。

相减得 $2d^2=19^2-17^2=72$ ，所以 $d^2=36$ ， $d=6$ 。

所以正确答案是 B。

Place the center at height $0.$ Two equal chords lie at equal distances from the center, so the three equally spaced lines are at heights $-\tfrac{d}{2},\tfrac{d}{2},\tfrac{3d}{2},$ with the two $38$ -chords at $\pm\tfrac{d}{2}$ and the $34$ -chord at $\tfrac{3d}{2}.$

Half-chord relations give $r^2-\left(\tfrac{d}{2}\right)^2=19^2$ and $r^2-\left(\tfrac{3d}{2}\right)^2=17^2.$

Subtracting, $2d^2=19^2-17^2=72,$ so $d^2=36$ and $d=6.$

Thus, the correct answer is B.

2021 AMC 12B Spring 第 8 题

答案：B

难度评级：1500

解答：

其他年份的第 8 题