Question

从集合 $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ 中选出两个不同的数，使剩下 $35$ 个数的和等于这两个数的乘积。这两个数的差是多少？

Two distinct numbers are selected from the set $\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}$ so that the sum of the remaining $35$ numbers is the product of these two numbers. What is the difference of these two numbers?

$5$

$7$

$8$

$9$

$10$

答案：E

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧等差数列

难度评级：1530

解答：

总和为 $1+2+\cdots+37=703$ 。若选出的两个数为 $a$ 和 $b$ ，则 $703-a-b=ab$ 。

所以 $ab+a+b=703$ ，两边加 $1$ 得 $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11$ 。

我们需要 $a+1,b+1$ 是 $2$ 到 $38$ 之间的因数。因数对 $22\cdot 32=704$ 可行，得到 $a=21$ ， $b=31$ 。

它们的差为 $31-21=10$ 。

所以正确答案是 E。

The sum $1+2+\cdots+37=703.$ If the chosen numbers are $a$ and $b,$ then $703-a-b=ab.$

So $ab+a+b=703,$ and adding $1$ gives $(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.$

We need factors $a+1,b+1$ between $2$ and $38.$ The pair $22\cdot 32=704$ works, giving $a=21,$ $b=31.$

Their difference is $31-21=10.$

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Spring 第 10 题

答案：E

难度评级：1530

解答：

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