2021 AMC 12B Spring 第 10 题

Question

从集合

\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}

中选出两个不同的数，使剩下

35

个数的和等于这两个数的乘积。这两个数的差是多少？

Two distinct numbers are selected from the set

\{1,2,3,4,\ldots,36,37\}

so that the sum of the remaining

35

numbers is the product of these two numbers. What is the difference of these two numbers?

5

7

8

9

10

答案：E

知识点：西蒙最爱的因式分解技巧等差数列

难度评级：1530

小提示：

整个集合的和是

703

；若选出的两个数是

a

和

b

，则

703-a-b=ab

。

The full set sums to

703;

if the two chosen numbers are

a

and

b,

then

703-a-b=ab

大提示：

整理为

(a+1)(b+1)=704

，然后分解因数

Rearrange to

(a+1)(b+1)=704

and factor

解答：

总和为

1+2+\cdots+37=703

。若选出的两个数为

a

和

b

，则

703-a-b=ab

。

所以

ab+a+b=703

，两边加

1

得

(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11

。

我们需要

a+1,b+1

是

2

到

38

之间的因数。因数对

22\cdot 32=704

可行，得到

a=21

，

b=31

。

它们的差为

31-21=10

。

所以正确答案是 E。

The sum

1+2+\cdots+37=703.

If the chosen numbers are

a

and

b,

then

703-a-b=ab.

So

ab+a+b=703,

and adding

1

gives

(a+1)(b+1)=704=2^6\cdot 11.

We need factors

a+1,b+1

between

2

and

38.

The pair

22\cdot 32=704

works, giving

a=21,

b=31.

Their difference is

31-21=10.

Thus, the correct answer is E.

2021 AMC 12B Spring 第 10 题

答案：E

难度评级：1530

小提示：

大提示：

解答：

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