2021 AMC 12A Spring 第 8 题

Question

数列由

D_0 = 0

、

D_1 = 0

、

D_2 = 1

，以及对

n \ge 3

成立的

D_n = D_{n-1} + D_{n-3}

定义。三元组

(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023})

中各数的奇偶性是什么？其中

E

表示偶数，

O

表示奇数。

A sequence of numbers is defined by

D_0 = 0,

D_1 = 0,

D_2 = 1,

and

D_n = D_{n-1} + D_{n-3}

for

n \ge 3.

What are the parities (evenness or oddness) of the triple of numbers

(D_{2021}, D_{2022}, D_{2023}),

where

E

denotes even and

O

denotes odd?

(O, E, O)

(E, E, O)

(E, O, E)

(O, O, E)

(O, O, O)

答案：C

知识点：奇偶性递推找规律

难度评级：1600

小提示：

只关心奇偶性，所以用

E

或

O

计算每一项，并记住

O+O=E

。

Only parities matter, so compute the sequence with each term as

E

or

O

using

O+O=E

大提示：

奇偶性序列以

7

为周期；把

2021, 2022, 2023

对

7

取余

The parity sequence repeats with period

7;

reduce

2021, 2022, 2023

modulo

7

解答：

模

2

计算，项

D_0, D_1, D_2, \ldots

的奇偶性为

E

、

E

、

O

、

O

、

O

、

E

、

O

、

E

、

E

、

O

、

O

、

O

、

E

、

O, \ldots

，从

D_0

开始以

7

为周期重复，因为

D_7, D_8, D_9

的奇偶性与

D_0, D_1, D_2

相同，都是

E, E, O

。

由于

2021 \equiv 5

、

2022 \equiv 6

，且

2023 \equiv 0 \pmod 7

，所求奇偶性分别与

D_5, D_6, D_0

相同，即

E, O, E

。

因此，正确答案是 C。

Working modulo

2,

the terms

D_0, D_1, D_2, \ldots

have parities

E,

E,

O,

O,

O,

E,

O,

E,

E,

O,

O,

O,

E,

O, \ldots

which repeat with period

7

starting from

D_0

(indeed

D_7, D_8, D_9

have the same parities

E, E, O

as

D_0, D_1, D_2

).

Since

2021 \equiv 5,

2022 \equiv 6,

and

2023 \equiv 0 \pmod 7,

the parities match those of

D_5, D_6, D_0,

namely

E, O, E.

Thus, the correct answer is C.

2021 AMC 12A Spring 第 8 题

答案：C

难度评级：1600

小提示：

大提示：

解答：

其他年份的第 8 题